Существует ли куб, у которого выражаются простыми числами ребро и:
а) сумма всех рёбер;
б) площадь поверхности?
Пусть длина ребра куба равна простому числу a.
а) Сумма длин всех рёбер L = 12a. Она делится на 12 и больше 12, поэтому является составным числом. Такого куба не существует.
б) Площадь поверхности S = 6a2. Она делится на 6 и больше 6, поэтому также выражается составным числом. Такого куба не существует.
Пояснения
У куба 12 равных рёбер, поэтому сумма их длин равна 12a. Число a простое и больше 1. В произведении есть множитель 12, который является дополнительным делителем, поэтому сумма длин рёбер не может быть простым числом.
Каждая грань куба – квадрат площадью a2. Граней шесть, значит, площадь поверхности равна 6a2. Произведение имеет делитель 6, отличный от 1 и от самого произведения. Следовательно, площадь поверхности составная.