Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 45, 60 и 105;
б) 162, 222 и 432;
в) 108, 72 и 96;
г) 240, 480 и 720.
а)
45 = 3 · 3 · 5.
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
60 = 2 · 2 · 3 · 5.
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
105 = 3 · 5 · 7.
| 105 | 3 |
| 35 | 5 |
| 7 | 7 |
| 1 |
НОД(45; 60; 105) = 3 · 5 = 15.
б)
162 = 2 · 3 · 3 · 3 · 3.
| 162 | 2 |
| 81 | 3 |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
222 = 2 · 3 · 37.
| 222 | 2 |
| 111 | 3 |
| 37 | 37 |
| 1 |
432 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3.
| 432 | 2 |
| 216 | 2 |
| 108 | 2 |
| 54 | 2 |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
НОД(162; 222; 432) = 2 · 3 = 6.
в)
108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3.
| 108 | 2 |
| 54 | 2 |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3.
| 72 | 2 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3.
| 96 | 2 |
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
НОД(108; 72; 96) = 2 · 2 · 3 = 12.
г) НОД(240; 480; 720) = 240: 480 : 240 = 2, 720 : 240 = 3.
Пояснения
а) Во всех трёх числах есть по одному множителю 3 и 5, поэтому НОД равен 15. б) В 222 только одна тройка; вместе с общей двойкой это ограничивает НОД числом 6.
в) У 108, 72 и 96 общие две двойки и одна тройка. Вторую тройку взять нельзя: её нет в 96. Значит, НОД равен 12. г) Числа 480 и 720 делятся на 240, поэтому наибольшим общим делителем всей тройки сразу служит 240.