Найдите произведение дробей 45 и 139 и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение еще на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).
45 · 139 = 4 · 135 · 9 = 5245.
54 · 913 = 5 · 94 · 13 = 4552.
Полученные произведения взаимно обратны, потому что 5245 · 4552 = 1.
Свойство: произведение чисел, обратных данным ненулевым числам, обратно произведению данных чисел.
Ещё один пример: 57 · 411 = 2077; 75 · 114 = 7720.
В общем виде при ненулевых a, b, c, d:
ab · cd = acbd; ba · dc = bdac.
acbd · bdac = 1, что и доказывает свойство.
Пояснения
В первой паре произведений числитель 4 · 13 = 52 и знаменатель 5 · 9 = 45 меняются местами, когда оба множителя заменены обратными. Поэтому 5245 и 4552 взаимно обратны. Второй пример 2077 и 7720 устроен так же.
В буквенном доказательстве исходное произведение acbd, произведение обратных – bdac. Их перемножение сокращается до 1. Требование ненулевых a, b, c, d нужно не только для исходных знаменателей: после переворачивания a и c тоже становятся знаменателями.