Одно измерение параллелепипеда равно 20 см, а два других выражаются произвольными натуральными числами сантиметров. Будет ли объем этого параллелепипеда всегда выражаться числом, кратным:
а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6?
Пусть другие измерения равны b см и c см, где b и c – натуральные числа. Тогда объём V = 20bc см3.
а) Всегда кратен 2: множитель 20 делится на 2.
б) Не всегда кратен 3. Например, при b = c = 1 объём равен 20 см3. Кратность 3 получится, если хотя бы одно из чисел b или c делится на 3.
в) Всегда кратен 4, поскольку 20 делится на 4.
г) Всегда кратен 5, поскольку 20 делится на 5.
д) Не всегда кратен 6: объём 20 см3 служит контрпримером. Множитель 2 в числе 20 уже есть, поэтому для делимости на 6 нужно, чтобы b или c делилось на 3.
Пояснения
В произведении V = 20bc уже есть множитель 20 = 2 · 2 · 5. Поэтому любой выбор натуральных b и c сохраняет делимость объёма на 2, 4 и 5.
Для делимости на 3 нужна тройка, которой в 20 нет. Она появится только при подходящем b или c; например, при b = c = 1 объём 20 не делится на 3. По той же причине нет гарантии делимости на 6: двойка уже есть, но тройки может не быть.