Делится ли число n на число m нацело, если:
а) n = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7 и
m = 2 · 2 · 7;
б) n = 2 · 5 · 5 · 17 · 17 и m = 2 · 3 · 5;
в) n = 3 · 3 · 5 · 7 · 19 и
m = 3 · 3 · 7 · 19;
г) n = 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 7 и m = 35;
д) n = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 и m = 308;
е) n = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 11 и
m = 1000?
а) n = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7, m = 2 · 2 · 7. Все множители числа m входят в разложение n, поэтому n делится на m. Частное равно 3 · 3 · 5 · 7 = 315.
б) n = 2 · 5 · 5 · 17 · 17, m = 2 · 3 · 5. Число n не делится на m, поскольку в разложении n нет множителя 3.
в) n = 3 · 3 · 5 · 7 · 19, m = 3 · 3 · 7 · 19. Число n делится на m, и частное равно 5.
г) n = 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 7, m = 35 = 5 · 7. Число n делится на m, поскольку оба множителя 5 и 7 есть в его разложении. Частное: 2 · 3 · 7 · 7 = 294.
д) n = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11. Разложим m = 308 на простые множители:
| 308 | 2 |
| 154 | 2 |
| 77 | 7 |
| 11 | 11 |
| 1 |
308 = 2 · 2 · 7 · 11. Все эти множители содержатся в разложении n, поэтому n делится на m. Частное равно 3 · 3 · 5 = 45.
е) n = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 11. Разложим m = 1000:
| 1000 | 2 |
| 500 | 2 |
| 250 | 2 |
| 125 | 5 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
1000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5. В разложении m три множителя 5, а в разложении n только два. Поэтому n не делится на m.
Пояснения
Сопоставляем множители делителя m с разложением n, учитывая повторы. В а) убираем две двойки и одну семёрку: остаётся 3 · 3 · 5 · 7 = 315. В в) после удаления двух троек, 7 и 19 остаётся 5; в г) делитель 35 заменяем на 5 · 7, и остаток даёт 294.
В б) деление невозможно: делителю нужна тройка, которой в n нет. В д) разложение 308 = 2 · 2 · 7 · 11 целиком содержится в n; после сокращения остаётся 3 · 3 · 5 = 45. В е) делителю 1000 нужны три пятёрки, а в n их только две. Именно нехватка одной пятёрки мешает делению нацело.