Разложите на простые множители числа:
а) 108, 225, 270, 512, 945, 1024;
б) 90, 180, 270, 350, 450, 1350, 4500;
в) 13, 2002, 1225, 14 014, 90 720.
а)
108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3.
| 108 | 2 |
| 54 | 2 |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
225 = 3 · 3 · 5 · 5.
| 225 | 3 |
| 75 | 3 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5.
| 270 | 2 |
| 135 | 3 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
512 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
| 512 | 2 |
| 256 | 2 |
| 128 | 2 |
| 64 | 2 |
| 32 | 2 |
| 16 | 2 |
| 8 | 2 |
| 4 | 2 |
| 2 | 2 |
| 1 |
945 = 3 · 3 · 3 · 5 · 7.
| 945 | 3 |
| 315 | 3 |
| 105 | 3 |
| 35 | 5 |
| 7 | 7 |
| 1 |
1 024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
| 1024 | 2 |
| 512 | 2 |
| 256 | 2 |
| 128 | 2 |
| 64 | 2 |
| 32 | 2 |
| 16 | 2 |
| 8 | 2 |
| 4 | 2 |
| 2 | 2 |
| 1 |
б)
90 = 2 · 3 · 3 · 5.
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5.
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5.
| 270 | 2 |
| 135 | 3 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
350 = 2 · 5 · 5 · 7.
| 350 | 2 |
| 175 | 5 |
| 35 | 5 |
| 7 | 7 |
| 1 |
450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5.
| 450 | 2 |
| 225 | 3 |
| 75 | 3 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
1 350 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5.
| 1350 | 2 |
| 675 | 3 |
| 225 | 3 |
| 75 | 3 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
4 500 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5.
| 4500 | 2 |
| 2250 | 2 |
| 1125 | 3 |
| 375 | 3 |
| 125 | 5 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
в)
13 – простое число. Его разложение состоит из единственного простого множителя 13.
2 002 = 2 · 7 · 11 · 13.
| 2002 | 2 |
| 1001 | 7 |
| 143 | 11 |
| 13 | 13 |
| 1 |
1 225 = 5 · 5 · 7 · 7.
| 1225 | 5 |
| 245 | 5 |
| 49 | 7 |
| 7 | 7 |
| 1 |
14 014 = 2 · 7 · 7 · 11 · 13.
| 14014 | 2 |
| 7007 | 7 |
| 1001 | 7 |
| 143 | 11 |
| 13 | 13 |
| 1 |
90 720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7.
| 90720 | 2 |
| 45360 | 2 |
| 22680 | 2 |
| 11340 | 2 |
| 5670 | 2 |
| 2835 | 3 |
| 945 | 3 |
| 315 | 3 |
| 105 | 3 |
| 35 | 5 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Пояснения
а) В разложении 108 дважды выделяем 2, затем трижды 3: частные 54, 27, 9, 3 и 1 показывают все шаги. Для 225 два деления на 3 оставляют 25, то есть две пятёрки; 270 = 2 · 135 = 2 · 3 · 45. У 512 девять множителей 2, у 1024 – десять. Для 945 три деления на 3 оставляют 35 = 5 · 7.
б) Разложение 90 = 2 · 3 · 3 · 5 можно использовать повторно: 180 = 2 · 90, 270 = 3 · 90, 450 = 5 · 90, 1350 = 15 · 90. Дополнительный множитель 15 тоже раскладываем как 3 · 5. У 350 после деления на 2 остаётся 175 = 5 · 5 · 7. Для 4500 используем 45 · 100: 45 даёт две тройки и пятёрку, 100 – две двойки и две пятёрки.
в) Число 13 уже простое. Для 2002 сначала выделяем 2, остаётся 1001 = 7 · 11 · 13. У 1225 дважды выделяем 5, затем остаётся 49 = 7 · 7. Равенство 14 014 = 7 · 2002 добавляет семёрку к разложению 2002. У 90 720 пять делений на 2 оставляют 2835, четыре деления на 3 – 35 = 5 · 7. Каждое разложение заканчиваем простыми множителями.