Развивай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось?
б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 или 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165.
в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами-близнецами.
а) Пары простых близнецов среди первых 500 натуральных чисел:
3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61; 71 и 73; 101 и 103; 107 и 109; 137 и 139; 149 и 151; 179 и 181; 191 и 193; 197 и 199; 227 и 229; 239 и 241; 269 и 271; 281 и 283; 311 и 313; 347 и 349; 419 и 421; 431 и 433; 461 и 463.
Всего 24 пары.
б) Подставим значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1.
При n = 87: 6 · 87 = 522.
6 · 87 − 1 = 522 − 1 = 521;
6 · 87 + 1 = 522 + 1 = 523.
Числа 521 и 523 простые, их разность равна 2, поэтому это простые близнецы.
НОД(521; 523) = 1, то есть числа этой пары взаимно простые.
При n = 135: 6 · 135 = 810.
6 · 135 − 1 = 810 − 1 = 809;
6 · 135 + 1 = 810 + 1 = 811.
Числа 809 и 811 простые, их разность равна 2, поэтому это простые близнецы.
НОД(809; 811) = 1, то есть числа этой пары взаимно простые.
При n = 165: 6 · 165 = 990.
6 · 165 − 1 = 990 − 1 = 989;
6 · 165 + 1 = 990 + 1 = 991.
989 = 23 · 43 – составное число; 991 – простое. Пара 989 и 991 не является парой простых близнецов.
НОД(989; 991) = 1, то есть числа этой пары взаимно простые.
в) Чтобы оба числа 6k − 1 и 6k + 1 были двузначными, проверяем k от 2 до 16. Не являются простыми близнецами следующие пары:
k = 4: 6 · 4 − 1 = 23; 6 · 4 + 1 = 25. Число 25 = 5 · 5 составное.
k = 6: 6 · 6 − 1 = 35; 6 · 6 + 1 = 37. Число 35 = 5 · 7 составное.
k = 8: 6 · 8 − 1 = 47; 6 · 8 + 1 = 49. Число 49 = 7 · 7 составное.
k = 9: 6 · 9 − 1 = 53; 6 · 9 + 1 = 55. Число 55 = 5 · 11 составное.
k = 11: 6 · 11 − 1 = 65; 6 · 11 + 1 = 67. Число 65 = 5 · 13 составное.
k = 13: 6 · 13 − 1 = 77; 6 · 13 + 1 = 79. Число 77 = 7 · 11 составное.
k = 14: 6 · 14 − 1 = 83; 6 · 14 + 1 = 85. Число 85 = 5 · 17 составное.
k = 15: 6 · 15 − 1 = 89; 6 · 15 + 1 = 91. Число 91 = 7 · 13 составное.
k = 16: 6 · 16 − 1 = 95; 6 · 16 + 1 = 97. Число 95 = 5 · 19 составное.
Ответ: (23; 25); (35; 37); (47; 49); (53; 55); (65; 67); (77; 79); (83; 85); (89; 91); (95; 97).
Пояснения
а) При просмотре таблицы оставляем только пары простых чисел с разностью 2; оба числа должны быть не больше 500. Пары (3; 5) и (5; 7) считаются разными, хотя у них есть общее число 5.
б) Сначала вычисляем 6n, затем вычитаем и прибавляем 1. Для n = 87 и 135 получаем пары простых близнецов. Для n = 165 получается 989 и 991, но 989 = 23 · 43 составное. Значит, одного вида 6n ± 1 ещё недостаточно.
в) Двузначность обоих чисел ограничивает перебор значениями k от 2 до 16. Например, k = 4 даёт 23 и 25; второе число составное, поэтому пара включается в ответ. Аналогично отбираем остальные пары, в которых хотя бы одно число составное. Взаимная простота пары сама по себе не делает её парой простых близнецов.