а) Владелец машины меняет каждые 15 тыс. км моторное масло, а каждые 60 тыс. км – приводной ремень. Через сколько тысяч километров совпадут замены масла и приводного ремня?
б) Спутники Ио, Европа, Ганимед и Каллисто планеты Юпитер обращаются вокруг нее за 42, 85, 172 и 400 ч соответственно. За какое наименьшее время они все вместе повторяют свое положение на орбите?
а) 60 : 15 = 4. Через каждые 60 тыс. км вместе с четвёртой заменой масла наступает срок замены ремня.
НОК(15; 60) = 60.
Ответ: через 60 тыс. км.
б) Найдём НОК периодов обращения: 42, 85, 172 и 400 ч.
42 = 2 · 3 · 7.
| 42 | 2 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
85 = 5 · 17.
| 85 | 5 |
| 17 | 17 |
| 1 |
172 = 2 · 2 · 43.
| 172 | 2 |
| 86 | 2 |
| 43 | 43 |
| 1 |
400 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5.
| 400 | 2 |
| 200 | 2 |
| 100 | 2 |
| 50 | 2 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
НОК(42; 85; 172; 400) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 7 · 17 · 43 = 16 · 525 · 731.
17 · 43 = 731.
15 · 35 = 525.
525 · 16 = 8400.
731 · 8400 = 6 140 400.
В сутках 24 ч. Поэтому 6 140 400 : 24 = 255 850 (сут.).
Ответ: через 6 140 400 ч, или 255 850 суток.
Пояснения
а) Число 60 уже делится на 15: за 60 тыс. км масло меняют четыре раза, а ремень – один. Поэтому первое совпадение наступит через 60 тыс. км.
б) За искомое время каждый спутник должен совершить целое число оборотов, поэтому нужен НОК периодов. Разложения: 42 = 2 · 3 · 7; 85 = 5 · 17; 172 = 2 · 2 · 43; 400 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5. Берём четыре двойки, две пятёрки и по одному множителю 3, 7, 17, 43.
Группируем: четыре двойки дают 16, произведение 3 · 5 · 5 · 7 равно 525, а 17 · 43 = 731. Получаем 16 · 525 · 731 = 6 140 400 ч. Деление на 24 переводит это время в 255 850 суток.