1. Какие из данных чисел являются взаимно простыми:
а) 12 и 15;
б) 29 и 34;
в) 25 и 30;
г) 72 и 73?
2. Даны разложения на простые множители двух чисел:
2 · 2 · 5 · 7 и 2 · 7 · 11.
Найдите их наибольший общий делитель.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 34 и 56;
б) 45 и 65;
в) 102 и 204;
г) 1005 и 960.
4. Разложите на простые множители числа 1440 и 240. Во сколько раз 1440 больше 240?
5. Дана правильная дробь m15. Найдите все значения m такие, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми.
1. а) НОД(12; 15) = 3 – числа не взаимно простые;
б) НОД(29; 34) = 1 – числа взаимно простые;
в) НОД(25; 30) = 5 – числа не взаимно простые;
г) НОД(72; 73) = 1 – числа взаимно простые.
2. Общие простые множители данных чисел – 2 и 7. НОД = 2 · 7 = 14.
3. Найдём НОД каждой пары:
а)
34 = 2 · 17.
| 34 | 2 |
| 17 | 17 |
| 1 |
56 = 2 · 2 · 2 · 7.
| 56 | 2 |
| 28 | 2 |
| 14 | 2 |
| 7 | 7 |
| 1 |
НОД(34; 56) = 2.
б)
45 = 3 · 3 · 5.
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
65 = 5 · 13.
| 65 | 5 |
| 13 | 13 |
| 1 |
НОД(45; 65) = 5.
в)
102 = 2 · 3 · 17.
| 102 | 2 |
| 51 | 3 |
| 17 | 17 |
| 1 |
204 = 2 · 2 · 3 · 17.
| 204 | 2 |
| 102 | 2 |
| 51 | 3 |
| 17 | 17 |
| 1 |
НОД(102; 204) = 2 · 3 · 17 = 102.
г)
1005 = 3 · 5 · 67.
| 1005 | 3 |
| 335 | 5 |
| 67 | 67 |
| 1 |
960 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5.
| 960 | 2 |
| 480 | 2 |
| 240 | 2 |
| 120 | 2 |
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
НОД(1005; 960) = 3 · 5 = 15.
4. Разложения чисел:
1440 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.
| 1440 | 2 |
| 720 | 2 |
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
240 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5.
| 240 | 2 |
| 120 | 2 |
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
НОД(1440; 240) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 240.
1440 : 240 = (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5) : (2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5) = 2 · 3 = 6.
1440 больше 240 в 6 раз.
5. Поскольку дробь m15 правильная, m – натуральное число от 1 до 14. Выбираем числа, не имеющие общих делителей с 15, кроме 1:
m = 1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14.
Соответствующие дроби: 115; 215; 415; 715; 815; 1115; 1315; 1415.
Пояснения
1. Для пар 12 и 15, 25 и 30 общие делители 3 и 5 исключают взаимную простоту. У 29 и 34 общих простых множителей нет; у последовательных 72 и 73 общий делитель мог бы делить их разность 1, поэтому он только 1. 2. В двух разложениях совпадают одна двойка и семёрка, их произведение 14.
3. У 34 = 2 · 17 и 56 = 2 · 2 · 2 · 7 общий простой множитель только 2. У 45 = 3 · 3 · 5 и 65 = 5 · 13 – только 5. У 1005 = 3 · 5 · 67 и 960 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 общая часть 3 · 5 = 15. В паре 102 и 204 меньшее число само делит большее. 4. После сокращения множителей 1440 и 240 остаются 2 · 3 = 6. 5. Правильность дроби ограничивает m числами 1–14. Из них исключаем кратные 3 или 5, поскольку 15 = 3 · 5. Оставшиеся восемь значений дают несократимые дроби.