1. Выберите верные утверждения:
а) любое натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется простым;
б) любое натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным;
в) любое натуральное число, которое имеет только два делителя, называется простым;
г) любое натуральное число, которое имеет только два делителя, называется составным;
д) 1 является простым числом;
е) 1 является составным числом.
2. Выпишите из чисел 1, 7, 20, 23, 31, 33, 43, 49, 60 те, которые являются:
а) простыми;
б) составными.
3. Запишите все делители числа 24. Сколько среди них простых?
4. Запишите все делители числа, представленного в виде произведения:
а) 2 · 3 · 11;
б) 32 · 7.
1. Верные утверждения: б), в).
2. а) Простые числа: 7; 23; 31; 43. б) Составные: 20; 33; 49; 60. Число 1 не относится ни к одной из этих групп.
3. Делители 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. Среди них два простых делителя: 2 и 3.
4. а) 2 · 3 · 11 = 66. Делители 66: 1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66.
б) 32 · 7 = 9 · 7 = 63. Делители 63: 1; 3; 7; 9; 21; 63.
Пояснения
1–2. У числа 1 только один делитель, поэтому оно не попадает ни к простым, ни к составным. Числа 20 = 2 · 10 и 60 = 2 · 30 тоже составные: каждое имеет делитель 2, отличный от 1 и самого числа. Число 49 составное, хотя нечётное: 49 = 7 · 7. Аналогично 33 = 3 · 11, а 7, 23, 31 и 43 имеют лишь два делителя.
3. Делители 24 удобно собирать парами 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6. Среди полученных восьми чисел простые только 2 и 3. 4. Для 66 выбираем любую комбинацию множителей 2, 3, 11, включая пустую, которая даёт 1. Для 63 = 32 · 7 степень тройки может быть 0, 1 или 2, семёрка может присутствовать или отсутствовать: всего 3 · 2 = 6 делителей.
1. а) Сколько существует простых чисел, меньших 20?
б) Сколько существует составных чисел, меньших 20?
в) Существуют ли составные нечетные числа? Если да, приведите пример.
г) Существуют ли простые четные числа? Если да, приведите пример.
2. Разложите на простые множители число:
а) 6;
б) 9;
в) 72;
г) 124.
3) Найдите частное удобным способом:
а) (3 · 4 · 2) : 3;
б) (5 · 2 · 7 · 3 · 2) : (5 · 2 · 2);
в) (7 · 2 · 5 · 2 · 11 · 7 · 13) : (7 · 2 · 11 · 13).
4. Делится ли произведение 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 нацело на:
а) 2 · 2 · 5;
б) 2 · 3 · 3 · 7;
в) 22 · 13;
г) 22 · 7 · 112;
д) 4 · 15 · 143;
е) 60 · 11 · 143?
В случае положительного ответа найдите результат деления.
1. а) Простые числа, меньшие 20: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19. Всего 8.
б) Составные числа, меньшие 20: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18. Всего 10.
в) Да, например, нечётные числа 9, 15 и 21 составные.
г) Да, число 2 – единственное чётное простое число.
2. а) 6 = 2 · 3; б) 9 = 3 · 3;
в) 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32;
| 72 | 2 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
г) 124 = 2 · 2 · 31 = 22 · 31.
| 124 | 2 |
| 62 | 2 |
| 31 | 31 |
| 1 |
3. а) (3 · 4 · 2) : 3 = (3 : 3) · (4 · 2) = 1 · 8 = 8;
б) (5 · 2 · 7 · 3 · 2) : (5 · 2 · 2) = ((5 · 2 · 2) : (5 · 2 · 2)) · (7 · 3) = 1 · 21 = 21;
в) (7 · 2 · 5 · 2 · 11 · 7 · 13) : (7 · 2 · 11 · 13) = ((7 · 2 · 11 · 13) : (7 · 2 · 11 · 13)) · (5 · 2 · 7) = 1 · 70 = 70.
4. Рассмотрим произведение 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13.
а) На 2 · 2 · 5 делится. Частное: 3 · 7 · 11 · 13 = 21 · 11 · 13 = 231 · 13 = 3003.
б) На 2 · 3 · 3 · 7 не делится: в делимом только один множитель 3, а в делителе их два.
в) 22 · 13 = 2 · 11 · 13. Все множители есть в делимом, поэтому произведение делится. Частное: 2 · 3 · 5 · 7 = 6 · 5 · 7 = 30 · 7 = 210.
г) 22 · 7 · 112 = 2 · 2 · 7 · 11 · 11. Произведение не делится: в делимом не хватает второго множителя 11.
д) 4 · 15 · 143 = 2 · 2 · 3 · 5 · 11 · 13. Все множители входят в делимое, поэтому оно делится, и частное равно 7.
е) 60 · 11 · 143 = 2 · 2 · 3 · 5 · 11 · 11 · 13. Деление без остатка невозможно: не хватает второго множителя 11.
Пояснения
1. От 1 до 19 всего 19 натуральных чисел: восемь простых, десять составных и отдельно единица. Чётность не исключает простоту только для числа 2; нечётные 9, 15 и 21 показывают, что нечётность не гарантирует простоту.
2. Для 6 получаем 2 · 3, для 9 – 3 · 3. В разложениях 72 и 124 последовательное выделение двоек оставляет 9 и 31. Девятку ещё раскладываем на 3 · 3, а 31 уже простое. 3. Сокращаем делитель с совпадающими множителями делимого; оставшиеся произведения дают 8, 21 и 70.
4. В исходном произведении две двойки, одна тройка и по одному 5, 7, 11, 13. Поэтому в б) не хватает второй тройки, в г) и е) – второго 11. В а), в) и д) все нужные множители есть; после сокращения остаются 3003, 210 и 7.
1. Найдите все простые делители числа:
а) 45;
б) 56;
в) 154;
г) 1395.
2. Для числа 512 запишите:
а) множество А − всех простых делителей;
б) множество В − все составных делителей;
в) множество С − всех четных делителей;
г) множество D − всех нечетных делителей;
д) множество Е − всех простых четных делителей;
е) множество F − всех составных нечетных делителей.
3. Представьте число 36 в виде произведения трех множителей, отличных от единицы. Сколько существует таких разложений?
1. Найдём простые делители:
а) 45 = 3 · 3 · 5. Простые делители: 3; 5.
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
б) 56 = 2 · 2 · 2 · 7. Простые делители: 2; 7.
| 56 | 2 |
| 28 | 2 |
| 14 | 2 |
| 7 | 7 |
| 1 |
в) 154 = 2 · 7 · 11. Простые делители: 2; 7; 11.
| 154 | 2 |
| 77 | 7 |
| 11 | 11 |
| 1 |
г) 1395 = 3 · 3 · 5 · 31. Простые делители: 3; 5; 31.
| 1395 | 3 |
| 465 | 3 |
| 155 | 5 |
| 31 | 31 |
| 1 |
2. 512 = 29.
| 512 | 2 |
| 256 | 2 |
| 128 | 2 |
| 64 | 2 |
| 32 | 2 |
| 16 | 2 |
| 8 | 2 |
| 4 | 2 |
| 2 | 2 |
| 1 |
а) A = {2};
б) B = {4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512};
в) C = {2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512};
г) D = {1};
д) E = {2};
е) F = ∅.
3. 36 = 2 · 2 · 9 = 2 · 3 · 6 = 3 · 3 · 4. Всего три разложения, если перестановку множителей не считать новым способом.
Пояснения
1. В списке простых делителей повторяющийся множитель записываем один раз. У 45 = 3 · 3 · 5 простые делители 3 и 5; у 56 = 2 · 2 · 2 · 7 – 2 и 7; у 154 = 2 · 7 · 11 – 2, 7 и 11. Для 1395 = 3 · 3 · 5 · 31 получаем 3, 5 и 31. 2. Любой делитель 512 = 29 имеет вид 2 в степени от 0 до 9. Степень 0 даёт 1, степень 1 – простое 2, степени 2–9 – составные чётные числа. Поэтому единственный нечётный делитель 1, а составных нечётных нет.
3. Записываем тройки множителей по возрастанию, чтобы перестановки не считались повторно. Если первый множитель 2, оставшуюся пару с произведением 18 можно взять как 2 и 9 либо 3 и 6. Если первый 3, остаются 3 и 4. Первый множитель 4 уже невозможен: 4 · 4 · 4 > 36. Поэтому разложений ровно три.