Реши уравнения.
72 — x = 18 · 3
72 — x = 54
x = 72 — 54
x = 18.
Проверка: 72 — 18 = 18 · 3; 54 = 54.
x : 8 = 130 + 270
x : 8 = 400
x = 400 · 8
x = 3 200.
Проверка: 3 200 : 8 = 130 + 270; 400 = 400.
400 : x = 1 000 : 10
400 : x = 100
x = 400 : 100
x = 4.
Проверка: 400 : 4 = 1 000 : 10; 100 = 100.
x — 290 = 470 + 230
x — 290 = 700
x = 700 + 290
x = 990.
Проверка: 990 — 290 = 470 + 230; 700 = 700.
x + 320 = 90 · 8
x + 320 = 720
x = 720 — 320
x = 400.
Проверка: 400 + 320 = 90 · 8; 720 = 720.
15 · x = 630 : 7
15 · x = 90
x = 90 : 15
x = 6.
Проверка: 15 · 6 = 630 : 7; 90 = 90.
Ответ: x = 18; x = 3 200; x = 4; x = 990; x = 400; x = 6.
Пояснения
Шаг 1. В каждом уравнении сначала вычисляем числовое выражение в одной из частей, а затем применяем связь между компонентами действия.
В первом уравнении правая часть равна 18 · 3 = 54.
Получаем 72 — x = 54, где x является вычитаемым.
Неизвестное вычитаемое равно уменьшаемому минус разность: x = 72 — 54 = 18.
Подстановка даёт 72 — 18 = 54, поэтому первый корень подходит.
Во втором уравнении сумма 130 + 270 равна 400.
Запись x : 8 = 400 содержит неизвестное делимое.
Неизвестное делимое находим умножением: x = 400 · 8 = 3 200.
Проверка 3 200 : 8 = 400 совпадает с правой частью.
В третьем уравнении 1 000 : 10 = 100.
В записи 400 : x = 100 неизвестен делитель.
Делитель равен делимому, разделённому на частное: x = 400 : 100 = 4.
Проверка показывает 400 : 4 = 100.
Шаг 2. В четвёртом уравнении складываем 470 + 230 и получаем 700.
Неизвестное уменьшаемое находим сложением разности и вычитаемого: x = 700 + 290 = 990.
После подстановки 990 — 290 = 700, поэтому равенство верно.
В пятом уравнении произведение 90 · 8 равно 720.
Неизвестное слагаемое равно сумме минус известное слагаемое: x = 720 — 320 = 400.
Проверяем: 400 + 320 = 720.
В шестом уравнении вычисляем 630 : 7 = 90.
Неизвестный множитель равен произведению, разделённому на известный множитель: x = 90 : 15 = 6.
Проверка 15 · 6 = 90 совпадает со значением правой части.
Все шесть найденных значений проверены в исходных равенствах.
Вычисли значения выражений:
156 — 96 : (12 : 4) : 2;
156 — 96 : 12 : (4 : 2);
(156 — 96 : 12) : (4 : 2);
4 689 · 5 + 97 308;
90 000 — 6 · 2 509;
76 090 · 4 — 5 673;
1 485 : 5 · 4;
2 496 : 8 · 7;
9 999 : 9 · 8.
156 4— 96 2: (12 1: 4) 3: 2 = 140;
156 4— 96 2: 12 3: (4 1: 2) = 152;
(156 2— 96 1: 12) 4: (4 3: 2) = 74.
4 689 1· 5 2+ 97 308 = 120 753;
90 000 2— 6 1· 2 509 = 74 946;
76 090 1· 4 2— 5 673 = 298 687;
1 485 1: 5 2· 4 = 1 188;
2 496 1: 8 2· 7 = 2 184;
9 999 1: 9 2· 8 = 8 888.
Пояснения
Шаг 1. Синие числа над знаками показывают порядок действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, после них сложение и вычитание.
Первое выражение: 12 : 4 = 3, затем 96 : 3 = 32, 32 : 2 = 16 и 156 — 16 = 140.
Второе выражение: 4 : 2 = 2, затем 96 : 12 = 8, 8 : 2 = 4 и 156 — 4 = 152.
Третье выражение: 96 : 12 = 8, затем 156 — 8 = 148, отдельно 4 : 2 = 2 и в конце 148 : 2 = 74.
Первое действие четвёртого выражения: 4 689 · 5 = 23 445.
Второе действие: 23 445 + 97 308 = 120 753.
Получаем 4 689 · 5 + 97 308 = 120 753.
В пятом выражении сначала умножаем: 2 509 · 6 = 15 054.
Затем вычитаем: 90 000 — 15 054 = 74 946.
Получаем 90 000 — 6 · 2 509 = 74 946.
В шестом выражении выполняем умножение: 76 090 · 4 = 304 360.
Шаг 2. Вычитаем 5 673: 304 360 — 5 673 = 298 687.
Значение шестого выражения равно 298 687.
В седьмом выражении делим: 1 485 : 5 = 297.
Умножаем частное на 4: 297 · 4 = 1 188.
Деление и умножение имеют одинаковую ступень, поэтому выполняются слева направо.
В восьмом выражении делим: 2 496 : 8 = 312.
Умножаем 312 на 7: 312 · 7 = 2 184.
Значение восьмого выражения равно 2 184.
В девятом выражении сначала находим 9 999 : 9 = 1 111.
Затем вычисляем 1 111 · 8 = 8 888.
Во всех девяти выражениях порядок действий отмечен и применён до получения окончательного результата.
Со 100 ульев собрали 2 т мёда. Сколько килограммов мёда собрали с 8 ульев, если со всех ульев получили мёда поровну?
2 т = 2 000 кг.
1) 2 000 : 100 = 20 (кг) — собрали с одного улья.
2) 20 · 8 = 160 (кг) — собрали с восьми ульев.
Решение выражением: (2 000 : 100) · 8 = 160 (кг).
Ответ: с 8 ульев собрали 160 кг мёда.
Пояснения
Шаг 1. Представляем зависимость между количеством ульев и массой мёда в таблице.
| Количество ульев | Масса мёда |
|---|---|
| 100 | 2 т = 2 000 кг |
| 1 | 20 кг |
| 8 | 160 кг |
Сначала переводим тонны в килограммы, потому что ответ требуется дать в килограммах.
Одна тонна содержит 1 000 кг, поэтому 2 т = 2 · 1 000 = 2 000 кг.
Со всех ста ульев собрали поровну, значит, на каждый улей приходится одинаковая масса.
Находим массу с одного улья делением общей массы на количество ульев.
Шаг 2. Вычисляем 2 000 : 100 = 20 кг.
Число 20 показывает сбор мёда с одного улья.
Чтобы найти сбор с восьми ульев, берём восемь одинаковых порций по 20 кг.
Вычисляем 20 · 8 = 160 кг.
Шаг 3. Два действия объединяются выражением (2 000 : 100) · 8.
Проверяем первый результат: 20 · 100 = 2 000 кг.
Проверяем ответ: 160 : 8 = 20 кг с одного улья.
Восемь ульев составляют 8 из 100, поэтому их сбор меньше общего сбора, что соответствует результату.
Шаг 4. Ответ записываем в килограммах и указываем, что он относится к восьми ульям.
Связь величин можно записать так: сбор с одного улья · количество ульев = общий сбор мёда.
Обратная проверка всей задачи: 160 кг : 20 кг = 8 ульев.
Каждый из восьми ульев учтён один раз, а одинаковый сбор с улья подтверждён условием.
Полная цепочка вычислений: 2 т = 2 000 кг; 2 000 : 100 = 20 кг с одного улья; 20 · 8 = 160 кг с восьми ульев.
За день в магазине продали 6 чайных чашек по 100 р. каждая и 10 кофейных, получив за все чашки 1 800 р. Сколько стоила одна кофейная чашка?
1) 100 · 6 = 600 (р.) — стоимость чайных чашек.
2) 1 800 — 600 = 1 200 (р.) — стоимость кофейных чашек.
3) 1 200 : 10 = 120 (р.) — цена одной кофейной чашки.
Решение выражением: (1 800 — 100 · 6) : 10 = 120 (р.).
Ответ: кофейная чашка стоила 120 р.
Пояснения
Шаг 1. Заполняем таблицу данными о двух видах чашек.
| Чашки | Цена одной | Количество | Стоимость |
|---|---|---|---|
| Чайные | 100 р. | 6 | 600 р. |
| Кофейные | ? | 10 | 1 200 р. |
| Всего | 16 | 1 800 р. |
Сначала узнаём стоимость всех чайных чашек.
Цена одной чайной чашки равна 100 р., а продано 6 чашек.
Умножаем цену на количество: 100 · 6 = 600 р.
Шаг 2. Общая выручка за чайные и кофейные чашки равна 1 800 р.
Вычитаем стоимость чайных чашек и получаем выручку за кофейные.
Вычисляем 1 800 — 600 = 1 200 р.
Десять кофейных чашек стоят 1 200 р. и имеют одинаковую цену.
Шаг 3. Цену одной чашки находим делением общей стоимости на количество.
Вычисляем 1 200 : 10 = 120 р.
Записываем решение одним выражением: (1 800 — 100 · 6) : 10.
Сначала выполняем умножение, затем действие в скобках и после этого деление.
Проверяем: 10 · 120 = 1 200 р. за кофейные чашки.
Шаг 4. Полная проверка: 6 · 100 + 10 · 120 = 600 + 1 200 = 1 800 р.
Проверочная сумма совпала с общей выручкой, поэтому цена найдена верно.
Шаг 5. Связь величин такова: цена одной чашки · количество чашек = стоимость всех чашек этого вида.
Поэтому деление 1 200 : 10 действительно находит цену, а не количество или общую стоимость.
Полученная цена 120 р. относится только к одной кофейной чашке.
Стоимость шести чайных чашек равна 6 · 100 = 600 р. На десять кофейных чашек приходится 1 800 — 600 = 1 200 р., поэтому одна стоит 1 200 : 10 = 120 р.
Вырази величины в указанных единицах: 23 м 6 см — в сантиметрах; 62 335 кг — в тоннах и килограммах; 2 ч 45 мин — в минутах; 584 мм — в сантиметрах и миллиметрах.
23 м 6 см = 2 306 см.
62 335 кг = 62 т 335 кг.
2 ч 45 мин = 165 мин.
584 мм = 58 см 4 мм.
Пояснения
Шаг 1. Для каждого преобразования используем соотношение только между нужными единицами одной величины.
В одном метре 100 см.
Переводим 23 м: 23 · 100 = 2 300 см.
Прибавляем ещё 6 см и получаем 2 300 + 6 = 2 306 см.
В одной тонне 1 000 кг.
В числе 62 335 кг содержится 62 полные тысячи килограммов и остаток 335 кг.
Поэтому 62 335 кг = 62 т 335 кг.
Проверка обратным переводом: 62 · 1 000 + 335 = 62 335 кг.
В одном часе 60 мин.
Два часа равны 2 · 60 = 120 мин.
Добавляем 45 мин: 120 + 45 = 165 мин.
В одном сантиметре 10 мм.
Шаг 2. Делим 584 мм на 10: получаем 58 полных сантиметров и остаток 4 мм.
Следовательно, 584 мм = 58 см 4 мм.
Проверяем: 58 · 10 + 4 = 584 мм.
Во всех ответах сохранена требуемая единица или составная запись величины.
При переводе в меньшие единицы значение числа увеличивается во столько раз, сколько меньших единиц содержится в одной крупной.
При обратном переводе выделяем полное количество крупных единиц, а остаток оставляем в меньших единицах.
В записи 23 м 6 см ноль перед шестью сантиметрами не меняет величину: это те же 23 м 06 см.
Число 62 335 при делении на 1 000 даёт неполное частное 62 и остаток 335, который меньше 1 000.
Число 165 мин можно проверить обратным разложением: 165 = 120 + 45, то есть 2 ч 45 мин.
Число 584 мм содержит 580 мм и ещё 4 мм; 580 мм равны 58 см.
Каждое равенство связывает одну и ту же величину, записанную разными единицами.
Обратные переводы подтверждают ответы: 2 306 см = 23 м 6 см; 62 т 335 кг = 62 335 кг; 165 мин = 2 ч 45 мин; 58 см 4 мм = 584 мм.
Выполни действия с величинами:
10 км 875 м + 925 м; 12 т 15 кг — 98 кг; 15 м2 25 дм2 — 50 дм2; 20 дм2 30 см2 + 80 см2; 17 м 30 см · 6; 25 ц 80 кг : 3; 38 см 5 мм + 8 мм; 5 м2 60 дм2 + 40 дм2.
10 км 875 м + 925 м = 11 км 800 м.
12 т 15 кг — 98 кг = 11 т 917 кг.
15 м2 25 дм2 — 50 дм2 = 14 м2 75 дм2.
20 дм2 30 см2 + 80 см2 = 21 дм2 10 см2.
17 м 30 см · 6 = 103 м 80 см.
25 ц 80 кг : 3 = 8 ц 60 кг.
38 см 5 мм + 8 мм = 39 см 3 мм.
5 м2 60 дм2 + 40 дм2 = 6 м2.
Пояснения
Шаг 1. В каждом примере переводим составную величину в меньшие единицы, выполняем действие и возвращаем удобную составную запись.
Первый пример: 10 км 875 м = 10 875 м.
Полное действие: 10 875 + 925 = 11 800 м.
Число 11 800 м содержит 11 км и 800 м, поэтому результат равен 11 км 800 м.
Второй пример: 12 т 15 кг = 12 015 кг.
Полное действие: 12 015 — 98 = 11 917 кг.
Возвращаем тонны: 11 917 кг = 11 т 917 кг.
Третий пример: 15 м² 25 дм² = 1 525 дм², потому что 1 м² = 100 дм².
Полное действие: 1 525 — 50 = 1 475 дм².
Число 1 475 дм² равно 14 м² 75 дм².
Четвёртый пример: 20 дм² 30 см² = 2 030 см², потому что 1 дм² = 100 см².
Полное действие: 2 030 + 80 = 2 110 см².
Число 2 110 см² равно 21 дм² 10 см².
Пятый пример: 17 м 30 см = 1 730 см.
Шаг 2. Полное действие: 1 730 · 6 = 10 380 см.
Переводим обратно: 10 380 см = 103 м 80 см.
Шестой пример: 25 ц 80 кг = 2 580 кг, так как 1 ц = 100 кг.
Полное действие: 2 580 : 3 = 860 кг.
Число 860 кг содержит 8 ц и 60 кг, поэтому результат равен 8 ц 60 кг.
Седьмой пример: 38 см 5 мм = 385 мм.
Полное действие: 385 + 8 = 393 мм.
Число 393 мм равно 39 см 3 мм.
Восьмой пример: 5 м² 60 дм² = 560 дм².
Прибавляем 40 дм²: 560 + 40 = 600 дм².
Сто квадратных дециметров составляют квадратный метр, поэтому 600 дм² = 6 м².
Проверяем переносы между единицами: в каждой составной записи меньшая часть не достигает следующей крупной единицы.
Все восемь результатов получены после приведения слагаемых, уменьшаемых, множимых или делимых к одинаковым единицам.
1) Рассмотри чертёж и выпиши отдельно названия тупых, острых и прямых углов.
2) Начерти фигуру, симметричную треугольнику ABC.
1) Тупые углы: ∠CAB, ∠CAD, ∠BDA.
Острые углы: ∠ABC, ∠ADC, ∠ACK, ∠ACB, ∠ACD, ∠KAD, ∠KAB, ∠KAC, ∠DAB.
Прямые углы: ∠AKB, ∠AKC, ∠AKD.
2) Симметричным является треугольник MPO: B переходит в M, A — в P, C — в O.
Пояснения
Шаг 1. Угол называем тремя буквами, причём буква его вершины всегда стоит посередине.
На первом чертеже точки B, D, K и C лежат на одной прямой, а из точки A проведены лучи к этим точкам.
Прямой угол равен 90°, острый меньше 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°.
У вершины A луч AC направлен вверх, а лучи AB и AD идут влево вниз, поэтому ∠CAB и ∠CAD тупые.
У вершины D угол между лучами DB и DA больше прямого, поэтому ∠BDA тупой.
Угол ∠ABC между лучами BA и BC меньше 90°, значит, он острый.
Угол ∠ADC острый; у вершины C острыми являются ∠ACK, ∠ACB и ∠ACD.
Шаг 2. Между лучами AK, AD, AB и AC у вершины A получаются острые углы ∠KAD, ∠KAB, ∠KAC и ∠DAB.
Луч KA перпендикулярен прямой BDKC, поэтому углы ∠AKB и ∠AKC прямые.
Так как точка D лежит на том же луче от K, что и B, угол ∠AKD также прямой.
Переходим к симметричному построению относительно вертикальной оси.
Из каждой вершины A, B и C мысленно проводим перпендикуляр к оси.
На другой стороне оси откладываем такое же расстояние, какое исходная вершина имеет до оси.
Точка B находится ближе всего к оси и переходит в точку M на той же горизонтали.
Шаг 3. Точка A переходит в P, а точка C — в O; пары A и P, B и M, C и O равноудалены от оси.
Соединяем M с P, P с O и O с M.
Полученный треугольник MPO является зеркальным отражением треугольника ABC.
Соответствующие стороны равны: AB = MP, AC = PO, BC = MO.
Вертикальная линия проходит через середины отрезков AP, BM и CO и перпендикулярна им.
Эти признаки подтверждают, что построенные треугольники симметричны относительно заданной оси.
Как называются числа и соответствующее выражение при умножении? При делении?
При умножении числа называются первым множителем и вторым множителем, результат — произведением. Запись a · b тоже называют произведением.
При делении число, которое делят, называется делимым; число, на которое делят, — делителем; результат — частным. Запись a : b называют частным.
Пояснения
Шаг 1. В равенстве 7 · 4 = 28 число 7 является первым множителем, а 4 — вторым множителем.
Число 28 является значением произведения.
Выражение 7 · 4 читается как произведение чисел 7 и 4.
Множители можно переставить: 7 · 4 = 4 · 7.
Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель.
Например, 28 : 7 = 4 и 28 : 4 = 7.
В равенстве 28 : 4 = 7 число 28 является делимым.
Число 4 является делителем, а 7 — значением частного.
Шаг 2. Выражение 28 : 4 читается как частное чисел 28 и 4.
Делимое показывает, какое число делят, а делитель показывает, на сколько равных частей делят или сколько раз берут равную часть.
Для проверки деления частное умножают на делитель и получают делимое: 7 · 4 = 28.
Итак, при умножении используются множители и произведение, при делении — делимое, делитель и частное.
Названия компонентов зависят от действия: одно и то же число может быть множителем в одном равенстве и делимым в другом.
Например, в 7 · 4 = 28 число 28 — произведение, а в 28 : 4 = 7 оно уже делимое.
Слова «произведение» и «частное» могут обозначать как результат действия, так и само выражение со знаком действия.
Читать запись следует вместе с её компонентами: произведение множителей и частное делимого и делителя.
При умножении первый и второй компоненты называются множителями, результат — произведением: 6 · 7 = 42. При делении называем делимое, делитель и частное: 42 : 7 = 6. Записи 6 · 7 и 42 : 7 также можно назвать произведением и частным.
Покажи на примере, как можно умножить сумму нескольких чисел на какое-либо число.
(4 + 2) · 3 = 4 · 3 + 2 · 3 = 12 + 6 = 18.
Правило: чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные произведения.
Пояснения
Шаг 1. Рассматриваем сумму двух чисел 4 и 2, которую нужно умножить на 3.
Первый способ — сначала вычислить сумму: 4 + 2 = 6.
Затем умножаем результат на 3: 6 · 3 = 18.
Второй способ использует распределительное свойство умножения.
Умножаем первое слагаемое на 3: 4 · 3 = 12.
Умножаем второе слагаемое на 3: 2 · 3 = 6.
Шаг 2. Складываем произведения: 12 + 6 = 18.
Оба способа дали одинаковое число 18.
Буквенная запись правила: (a + b) · c = a · c + b · c.
Если слагаемых больше двух, умножаем на c каждое из них и складываем все произведения.
Например, (2 + 3 + 5) · 4 = 2 · 4 + 3 · 4 + 5 · 4 = 8 + 12 + 20 = 40.
Это свойство позволяет выбирать наиболее удобный способ вычисления.
Обе записи дают одинаковое произведение, поэтому распределительное свойство применено верно.
Как можно разделить сумму на число: (36 + 24) : 6?
1-й способ: (36 + 24) : 6 = 60 : 6 = 10.
2-й способ: (36 + 24) : 6 = 36 : 6 + 24 : 6 = 6 + 4 = 10.
Сумму можно разделить на число по слагаемым, если каждое слагаемое делится на это число.
Пояснения
Шаг 1. Первый способ начинается с действия в скобках.
Складываем 36 и 24: 36 + 24 = 60.
Делим полученную сумму на 6: 60 : 6 = 10.
Во втором способе применяем правило деления суммы на число.
Каждое слагаемое 36 и 24 делится на 6 без остатка.
Делим первое слагаемое: 36 : 6 = 6.
Делим второе слагаемое: 24 : 6 = 4.
Шаг 2. Складываем частные: 6 + 4 = 10.
Оба способа дали один результат.
Буквенная запись: (a + b) : c = a : c + b : c, если a и b делятся на c.
Нельзя без проверки применять это правило, когда слагаемые не делятся на число в изучаемых натуральных числах.
Для данных чисел условие выполнено, поэтому ответ равен 10.
Проверка умножением: 10 · 6 = 60, а сумма 36 + 24 тоже равна 60.
Для этой суммы распределение деления можно проверить двумя записями: (36 + 24) : 6 = 60 : 6 = 10 и 36 : 6 + 24 : 6 = 6 + 4 = 10. Результаты совпадают.
Чему равно произведение, если один из множителей равен 0? Если один из множителей равен 1? Приведи примеры.
a · 0 = 0; 0 · a = 0. Например, 27 · 0 = 0.
a · 1 = a; 1 · a = a. Например, 27 · 1 = 27.
Пояснения
Шаг 1. При умножении любого числа на ноль получается ноль.
Ноль показывает отсутствие одинаковых слагаемых или нулевое количество в каждой группе.
Например, 8 · 0 = 0 и 0 · 8 = 0.
Переместительное свойство позволяет менять множители местами, поэтому правило действует в обеих записях.
При умножении любого числа на единицу получается само это число.
Одна группа по a предметов содержит a предметов, поэтому a · 1 = a.
Шаг 2. Например, 8 · 1 = 8 и 1 · 8 = 8.
Эти правила различаются: ноль превращает произведение в ноль, а единица сохраняет второй множитель.
Проверка на числе 125: 125 · 0 = 0, а 125 · 1 = 125.
Следовательно, при множителе 0 произведение равно 0, при множителе 1 — другому множителю.
Если нулём является первый множитель, результат также ноль: 0 · 125 = 0.
Если единицей является первый множитель, произведение равно второму множителю: 1 · 125 = 125.
Перестановка множителей не меняет правила: 0 · 8 = 8 · 0 = 0, а 1 · 8 = 8 · 1 = 8. Ноль обнуляет произведение, единица сохраняет число.
Чему равно частное, если делитель равен 1? Если делимое равно 0?
a : 1 = a. Например, 36 : 1 = 36.
0 : a = 0, если a ≠ 0. Например, 0 : 9 = 0.
На ноль делить нельзя.
Пояснения
Шаг 1. Если число делят на единицу, получается то же число.
Деление на 1 означает, что всё число составляет одну группу.
Например, 42 : 1 = 42.
Проверка умножением: 42 · 1 = 42.
Если делимое равно нулю, частное равно нулю при любом ненулевом делителе.
Например, 0 : 5 = 0, потому что 0 · 5 = 0.
В записи 0 : a = 0 обязательно предполагается, что a не равняется нулю.
Шаг 2. Делить на ноль нельзя, поэтому выражение 0 : 0 значения не имеет.
Правила можно записать буквами: a : 1 = a и 0 : a = 0 при a ≠ 0.
Итак, деление на единицу сохраняет делимое, а нулевое делимое даёт нулевое частное.
Проверяем ещё один пример деления на единицу: 157 : 1 = 157, потому что 157 · 1 = 157.
Проверяем нулевое делимое: 0 : 12 = 0, потому что 0 · 12 = 0.
Условие a ≠ 0 относится только к делителю в записи 0 : a.
Таким образом, правило не разрешает деление на ноль ни для нулевого, ни для ненулевого делимого.
Число 0 подтверждает оба правила одновременно: 0 : 1 = 0. Но запись 0 : 0 не имеет значения, потому что делителем не может быть ноль.
Что получится, если произведение двух чисел разделить на один из множителей?
Получится другой множитель: (a · b) : a = b и (a · b) : b = a.
Пример: 7 · 2 = 14; 14 : 7 = 2; 14 : 2 = 7.
Пояснения
Шаг 1. Произведение связано с каждым множителем обратным действием деления.
Возьмём множители 7 и 2.
Их произведение равно 7 · 2 = 14.
Делим произведение на первый множитель: 14 : 7 = 2.
Получили второй множитель.
Шаг 2. Делим произведение на второй множитель: 14 : 2 = 7.
Получили первый множитель.
Общее правило: произведение двух чисел, разделённое на один множитель, равно другому множителю.
Это правило используют для поиска неизвестного множителя и для проверки умножения.
Например, из 9 · 6 = 54 следуют равенства 54 : 9 = 6 и 54 : 6 = 9.
Что получится, если умножить делитель на частное? Если разделить делимое на частное?
Если умножить делитель на частное, получится делимое: b · c = a, если a : b = c.
Если разделить делимое на частное, получится делитель: a : c = b.
Пример: 48 : 6 = 8; 6 · 8 = 48; 48 : 8 = 6.
Пояснения
Шаг 1. Рассматриваем равенство 48 : 6 = 8.
В нём 48 — делимое, 6 — делитель, 8 — частное.
Умножаем делитель на частное: 6 · 8 = 48.
Получили исходное делимое.
Теперь делим делимое на частное: 48 : 8 = 6.
Шаг 2. Получили исходный делитель.
Общая зависимость записывается так: делитель · частное = делимое.
Вторая зависимость: делимое : частное = делитель.
Эти равенства верны для деления без остатка и помогают проверять результат.
Итог: первое действие возвращает делимое, второе — делитель.
Например, для равенства 48 : 6 = 8 получаем 6 · 8 = 48 и 48 : 8 = 6. Первый результат является делимым, второй — делителем.
Как можно проверить умножение? Деление?
Умножение проверяют делением: если a · b = c, то c : a = b или c : b = a.
Деление без остатка проверяют умножением: если a : b = c, то c · b = a. Также можно разделить делимое на частное и получить делитель.
Пример: 8 · 7 = 56; 56 : 8 = 7. Проверка 56 : 7 = 8; 8 · 7 = 56.
Пояснения
Шаг 1. Умножение и деление являются взаимно обратными действиями.
Пусть вычислено произведение 8 · 7 = 56.
Для проверки делим произведение на один из множителей.
Вычисляем 56 : 8 = 7 и получаем второй множитель.
Можно выполнить вторую проверку: 56 : 7 = 8 и получить первый множитель.
Если хотя бы одно частное не совпало с множителем, в умножении допущена ошибка.
Теперь рассматриваем деление 56 : 7 = 8.
Шаг 2. Умножаем частное на делитель: 8 · 7 = 56.
Произведение совпало с делимым, поэтому деление выполнено верно.
Дополнительная проверка: 56 : 8 = 7, то есть делимое, разделённое на частное, даёт делитель.
При этом остаток обязательно должен быть меньше делителя.
Итак, умножение проверяется делением, а деление — умножением или второй связью между его компонентами.
Например, произведение 7 · 8 = 56 проверяем делением: 56 : 8 = 7 или 56 : 7 = 8. Частное 56 : 7 = 8 проверяем умножением: 8 · 7 = 56. При делении с остатком к произведению частного и делителя нужно прибавить остаток.