В соревнованиях по ориентированию на местности участвовало 86 школьников. Победителями стали 5 человек, а две третьих всех остальных ребят за хорошие результаты были награждены грамотами. Сколько ребят получили грамоты?
1) 86 — 5 = 81 (шк.) — не стали победителями.
2) 81 : 3 = 27 (шк.) — составляет одна треть остальных участников.
3) 27 · 2 = 54 (шк.) — получили грамоты.
Решение выражением: (86 — 5) : 3 · 2 = 54 (шк.).
Ответ: грамоты получили 54 школьника.
Пояснения
Шаг 1. Представляем сведения о школьниках в краткой таблице.
| Группа школьников | Количество |
|---|---|
| Всего участвовало | 86 чел. |
| Победители | 5 чел. |
| Остальные участники | 81 чел. |
| Получили грамоты | две третьих остальных, 54 чел. |
Сначала отделяем победителей от всех участников, потому что грамоты получили две третьих именно остальных ребят.
Всего участвовало 86 школьников, победителями стали 5 человек.
Находим число школьников, которые не стали победителями: 86 — 5 = 81.
Шаг 2. Теперь число 81 принимаем за целое, которое разделено на три равные части.
Одна треть — это одна из трёх равных частей целого.
Находим одну треть остальных участников: 81 : 3 = 27 школьников.
По условию грамотами наградили не одну, а две такие части.
Шаг 3. Умножаем величину одной части на 2: 27 · 2 = 54 школьника.
Можно сразу записать цепочку действий выражением: (86 — 5) : 3 · 2.
Скобки показывают, что сначала нужно исключить пятерых победителей.
Затем деление на 3 находит размер одной доли, а умножение на 2 берёт две доли.
Проверяем доли: 54 + 27 = 81, то есть награждённые составляют две части, а ненаграждённые — одну часть.
Проверяем всех участников: 5 + 54 + 27 = 86 школьников.
Шаг 4. Все участники распределены, поэтому ответ 54 школьника согласуется с условием.
В ответе называем только тех ребят, которые получили грамоты, а победителей отдельно не прибавляем.
1) Запиши равенство и проверь, верно ли оно: частное чисел 72 180 и 9 равно разности чисел 90 000 и 81 980.
2) Запиши неравенство и проверь, верно ли оно: произведение чисел 4 070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18 396 и 14 174.
1) 72 180 : 9 = 90 000 — 81 980.
72 180 : 9 = 8 020;
90 000 — 81 980 = 8 020;
8 020 = 8 020 — равенство верное.
2) 4 070 · 8 < 18 396 + 14 174.
4 070 · 8 = 32 560;
18 396 + 14 174 = 32 570;
32 560 < 32 570 — неравенство верное.
Пояснения
Шаг 1. Равенство содержит знак =, а неравенство — знак <. Для проверки вычисляем обе их части.
В первом подпункте слева находится частное 72 180 и 9.
Полное действие: 72 180 : 9 = 8 020.
Первое неполное делимое 72 тысячи. Делим 72 на 9 и получаем 8 тысяч без остатка.
Следующие две цифры делимого — 1 и 8 — меньше 9, поэтому в разрядах сотен и десятков частного записываем нули.
Последнее неполное делимое 18 делим на 9 и получаем 2. Частное равно 8 020.
Справа в первом равенстве находится разность 90 000 и 81 980.
Полное действие: 90 000 — 81 980 = 8 020.
При вычитании занимаем единицы через нулевые разряды. В результате получаем 0 единиц, 2 десятка, 0 сотен и 8 тысяч.
Обе части первого равенства равны 8 020, следовательно, равенство верное.
Во втором подпункте сначала вычисляем произведение в левой части.
Шаг 2. Полное действие: 4 070 · 8 = 32 560.
Умножаем справа налево: 0 · 8 = 0, 7 · 8 = 56, затем учитываем перенос при умножении тысяч.
Получаем значение левой части 32 560.
Теперь вычисляем сумму в правой части неравенства.
Шаг 3. Полное действие: 18 396 + 14 174 = 32 570.
Складываем одинаковые разряды и переносим десяток из разряда единиц, а затем из разряда сотен.
Значение правой части равно 32 570.
Сравниваем 32 560 и 32 570: десятки тысяч, тысячи и сотни одинаковы, но 6 десятков меньше 7 десятков.
Поэтому 32 560 < 32 570, и записанное неравенство верно.
Проверены обе части каждой записи, а не только приблизительный порядок чисел.
Итог: первое утверждение является верным равенством, второе — верным неравенством.
Длины сторон треугольника равны 12 см 5 мм, 4 см и 10 см 5 мм. Вырази длины сторон в миллиметрах и найди периметр этого треугольника.
12 см 5 мм = 125 мм;
4 см = 40 мм;
10 см 5 мм = 105 мм.
P = 125 + 40 + 105 = 270 (мм).
Ответ: периметр треугольника равен 270 мм.
Пояснения
Шаг 1. Периметр треугольника равен сумме длин трёх его сторон.
Перед сложением выражаем все длины в одинаковых единицах — миллиметрах.
Один сантиметр содержит 10 миллиметров.
Первая сторона: 12 см = 120 мм, ещё 5 мм дают 120 + 5 = 125 мм.
Вторая сторона: 4 см = 4 · 10 = 40 мм.
Третья сторона: 10 см = 100 мм, ещё 5 мм дают 105 мм.
Записываем формулу периметра: P = a + b + c.
Подставляем длины сторон: P = 125 мм + 40 мм + 105 мм.
Удобно сначала сложить 125 и 105: 125 + 105 = 230.
Затем прибавляем 40: 230 + 40 = 270 мм.
Шаг 2. Можно складывать и по порядку: 125 + 40 = 165, 165 + 105 = 270.
Оба способа дают один и тот же результат.
Проверяем перевод: 270 мм = 27 см, что больше каждой отдельной стороны и соответствует сумме трёх сторон.
В ответе сохраняем единицу, которую требует задание, — миллиметры.
Итак, периметр треугольника равен 270 мм.
Для дополнительной проверки переводим сумму в составную единицу: 270 мм = 27 см 0 мм.
Складываем исходные сантиметры и миллиметры отдельно: 12 см 5 мм + 4 см + 10 см 5 мм = 26 см 10 мм.
Десять миллиметров заменяем одним сантиметром и снова получаем 27 см, то есть 270 мм.
Совпадение двух способов подтверждает и перевод величин, и найденный периметр.
Начерти тупой, прямой и острый углы с общей стороной.
Общая сторона всех трёх углов — луч AB.
∠CAB — острый угол;
∠KAB — прямой угол;
∠MAB — тупой угол.
Пояснения
Шаг 1. Начинаем построение с общей вершины A и проводим из неё луч AB вправо.
Этот луч будет общей стороной каждого из трёх углов.
Для острого угла проводим из A луч AC так, чтобы угол между AC и AB был меньше прямого.
На рисунке ∠CAB примерно равен 45°, поэтому он острый.
Для прямого угла проводим луч AK перпендикулярно лучу AB.
Угол ∠KAB равен 90°, значит, он прямой.
Для тупого угла проводим луч AM по другую сторону от AK.
Угол между лучами AM и AB больше 90°, но меньше 180°.
Шаг 2. Следовательно, ∠MAB является тупым.
Все три угла имеют одну вершину A.
У всех трёх углов совпадает сторона AB, как требуется в условии.
Проверяем взаимное положение лучей: AC расположен внутри прямого угла KAB, а AK — внутри тупого угла MAB.
Подписываем точки у концов лучей, не превращая лучи в отдельные отрезки.
Готовый вариант построения показан на клетчатом фоне.
Сверяем названия и вид каждого угла по рисунку.
Итог: ∠CAB острый, ∠KAB прямой, ∠MAB тупой; общая сторона — AB.
В дом отдыха приехали 70 женщин и 50 мужчин. Сколько столов они заняли в столовой, если за каждый стол сели по 4 человека?
1) 70 + 50 = 120 (чел.) — всего приехало в дом отдыха.
2) 120 : 4 = 30 (ст.) — заняли отдыхающие.
Решение выражением: (70 + 50) : 4 = 30 (ст.).
Ответ: отдыхающие заняли 30 столов.
Пояснения
Шаг 1. Собираем данные о количестве людей в таблице.
| Отдыхающие | Количество |
|---|---|
| Женщины | 70 чел. |
| Мужчины | 50 чел. |
| Всего | 120 чел. |
| За одним столом | 4 чел. |
Сначала требуется найти общее количество приехавших людей.
В доме отдыха 70 женщин и 50 мужчин, поэтому складываем эти числа.
Вычисляем 70 + 50 = 120 человек.
За каждым столом сидят по 4 человека, то есть все группы имеют одинаковый размер.
Шаг 2. Чтобы узнать количество равных групп, общее число людей делим на число людей в одной группе.
Выполняем деление: 120 : 4 = 30 столов.
Деление выполняется без остатка, поэтому неполностью занятых столов нет.
Проверяем умножением: 30 · 4 = 120 человек.
Шаг 3. Число 120 совпадает с общим количеством женщин и мужчин.
Решение можно объединить в выражение (70 + 50) : 4.
В скобках находим всех отдыхающих, а деление показывает число занятых столов.
Не делим 70 и 50 по отдельности, потому что число 50 не делится на 4 без остатка, а рассаживали всех людей вместе.
Шаг 4. Связь величин: число столов · людей за столом = общее число людей.
Ответ на вопрос задачи — 30 столов.
Обратная проверка показывает, что 30 полных групп по 4 человека включают всех 120 отдыхающих.
Следовательно, ни один человек не остался без места, а лишний стол не потребовался.
Тридцать столов дают ровно 120 мест: 30 · 4 = 120.
Найди:
1) площадь прямоугольника DEKM;
2) площадь и периметр треугольников DEK и DKM.
DE = KM = 26 мм;
EK = DM = 10 мм;
DK = 28 мм.
1) SDEKM = 26 · 10 = 260 (мм2).
2) SDEK = SDKM = 260 : 2 = 130 (мм2).
PDEK = 26 + 10 + 28 = 64 (мм).
PDKM = 10 + 26 + 28 = 64 (мм).
Ответ: площадь прямоугольника — 260 мм2; площадь каждого треугольника — 130 мм2; периметр каждого треугольника — 64 мм.
Пояснения
Шаг 1. На рисунке точки D, E, K и M образуют прямоугольник DEKM.
По измерениям его длинная сторона DE равна KM и составляет 26 мм.
Короткая сторона EK равна DM и составляет 10 мм.
Диагональ DK делит прямоугольник на треугольники DEK и DKM.
Длина диагонали DK равна 28 мм.
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних сторон.
Выбираем стороны DE = 26 мм и EK = 10 мм.
Шаг 2. Вычисляем S = 26 · 10 = 260 мм2.
Единица площади получается квадратной: мм · мм = мм2.
Диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника.
Поэтому площади треугольников DEK и DKM одинаковы.
Чтобы найти площадь каждого треугольника, площадь прямоугольника делим пополам.
Получаем 260 : 2 = 130 мм2.
Проверяем площади: 130 + 130 = 260 мм2, то есть два треугольника полностью составляют прямоугольник.
Шаг 3. Теперь находим периметр треугольника DEK как сумму сторон DE, EK и DK.
Подставляем длины: 26 + 10 + 28 = 64 мм.
У треугольника DKM стороны DM = 10 мм, KM = 26 мм и DK = 28 мм.
Сумма этих длин также равна 10 + 26 + 28 = 64 мм.
Треугольники имеют попарно равные стороны: DE = KM, EK = DM, а DK является общей стороной.
Поэтому равенство их площадей и периметров согласуется с измерениями.
Шаг 4. Не включаем в периметр треугольника четвёртую сторону прямоугольника: для каждого треугольника складываем только три его стороны.
Отрезки большого треугольника ANC не нужны для вычислений, они помогают увидеть расположение прямоугольника внутри всей фигуры.
Площадь прямоугольника относится к фигуре DEKM, а значение 130 мм2 — отдельно к каждому из двух треугольников.
Периметр измеряется в миллиметрах, площадь — в квадратных миллиметрах; эти единицы не смешиваем.
Итоговые значения: 260 мм2, 130 мм2 и 64 мм.
На чертеже сохраняем все точки N, A, D, M, C, E и K, чтобы положение нужных фигур читалось однозначно.
В трёх корзинах 96 кг слив. В первой корзине 28 кг, во второй — третья часть всех слив. Сколько килограммов слив в третьей корзине?
Первый способ
1) 96 : 3 = 32 (кг) — во второй корзине.
2) 28 + 32 = 60 (кг) — в первой и второй корзинах вместе.
3) 96 — 60 = 36 (кг) — в третьей корзине.
Второй способ
1) 96 : 3 = 32 (кг) — во второй корзине.
2) 96 — 32 = 64 (кг) — в первой и третьей корзинах вместе.
3) 64 — 28 = 36 (кг) — в третьей корзине.
Ответ: в третьей корзине 36 кг слив.
Пояснения
Шаг 1. Записываем известную и найденную массу каждой корзины.
| Корзина | Масса слив |
|---|---|
| Первая | 28 кг |
| Вторая | третья часть от 96 кг, то есть 32 кг |
| Третья | 36 кг |
| Всего | 96 кг |
Всего в трёх корзинах 96 кг слив. Это целая величина, от которой берётся третья часть.
Одна треть означает одну из трёх равных частей.
Поэтому массу слив во второй корзине находим делением: 96 : 3 = 32 кг.
Дальше задачу можно закончить двумя способами.
Шаг 2. В первом способе сначала складываем массы первой и второй корзин.
Получаем 28 + 32 = 60 кг в двух известных корзинах.
Из общей массы вычитаем найденную сумму: 96 — 60 = 36 кг.
Так получаем массу слив в третьей корзине.
Первый способ можно записать выражением 96 — (28 + 96 : 3) = 36.
Шаг 3. Скобки показывают, что перед вычитанием складываются массы первой и второй корзин.
Во втором способе сначала исключаем из общего количества вторую корзину.
В первой и третьей корзинах вместе остаётся 96 — 32 = 64 кг.
Из этих 64 кг вычитаем известные 28 кг первой корзины.
Получаем 64 — 28 = 36 кг в третьей корзине.
Шаг 4. Второй способ записывается выражением 96 — 96 : 3 — 28 = 36.
В обоих способах первым действием обязательно находим третью часть всех слив.
Способы различаются только порядком вычитания известных масс из общего количества.
Проверяем ответ сложением: 28 + 32 + 36 = 96 кг.
Сумма масс трёх корзин совпала с условием.
Шаг 5. Также 32 · 3 = 96, значит, масса второй корзины действительно составляет третью часть всех слив.
Ответ 36 кг получен независимо двумя способами, поэтому вычисление подтверждено.
Не считаем, что во всех корзинах лежит по одной трети: условие называет третьей частью только массу второй корзины.
Итог: в третьей корзине находится 36 кг слив.
Периметр квадрата равен 36 см. Найди его площадь.
1) 36 : 4 = 9 (см) — длина стороны квадрата.
2) 9 · 9 = 81 (см2) — площадь квадрата.
Решение выражением: (36 : 4) · (36 : 4) = 81 (см2).
Ответ: площадь квадрата равна 81 см2.
Пояснения
Шаг 1. У квадрата четыре стороны, и все они равны.
Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры.
Если длину стороны обозначить буквой a, то периметр квадрата равен a · 4.
По условию a · 4 = 36 см.
Неизвестный множитель находим делением произведения на известный множитель.
Делим периметр на число сторон: a = 36 : 4 = 9 см.
Проверяем длину стороны: 9 + 9 + 9 + 9 = 36 см.
Теперь используем правило нахождения площади квадрата.
Площадь квадрата равна произведению длины стороны на такую же длину: S = a · a.
Подставляем найденную сторону: S = 9 см · 9 см.
Шаг 2. Вычисляем 9 · 9 = 81.
При умножении сантиметров на сантиметры получаем квадратные сантиметры.
Следовательно, S = 81 см2.
Решение можно объединить: сначала дважды записываем длину стороны 36 : 4, затем перемножаем результаты.
Получаем выражение (36 : 4) · (36 : 4) = 9 · 9 = 81.
Не умножаем периметр сам на себя: число 36 описывает границу квадрата, а для площади нужна длина одной стороны.
Проверяем здравый смысл: квадрат со стороной 9 см содержит 9 рядов по 9 квадратов площадью 1 см2.
Всего таких единичных квадратов 81.
Итоговая единица ответа — см2, а не см.
Площадь квадрата равна 81 см2.
Проверка площади выполняется умножением одинаковых сторон: 9 · 9 = 81.
Вычисли значения выражений.
5 000 : 100 + 499;
(50 100 — 100) : 100;
900 — (600 — 130 · 4) : 10;
800 — 250 + 130 : 5 · 2;
900 — 348 : 4 · 6;
696 — 612 : 6 : 3.
1) 5 000 1: 100 2+ 499 = 50 + 499 = 549.
2) (50 100 1— 100) 2: 100 = 50 000 : 100 = 500.
3) 900 4— (600 2— 130 1· 4) 3: 10 = 900 — (600 — 520) : 10 = 900 — 80 : 10 = 900 — 8 = 892.
4) 800 3— 250 4+ 130 1: 5 2· 2 = 800 — 250 + 26 · 2 = 800 — 250 + 52 = 550 + 52 = 602.
5) 900 3— 348 1: 4 2· 6 = 900 — 87 · 6 = 900 — 522 = 378.
6) 696 3— 612 1: 6 2: 3 = 696 — 102 : 3 = 696 — 34 = 662.
Ответ: 549; 500; 892; 602; 378; 662.
Пояснения
Шаг 1. В каждом выражении сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, после них — сложение и вычитание слева направо.
В первом выражении деление выполняется раньше сложения: 5 000 : 100 = 50.
Полное второе действие: 499 + 50 = 549.
Складываем единицы, десятки и сотни по разрядам и получаем значение первого выражения 549.
Во втором выражении сначала работаем внутри скобок: 50 100 — 100 = 50 000.
После закрытия скобок делим 50 000 на 100 и получаем 500.
В третьем выражении первым действием является умножение внутри скобок.
Полное первое действие: 130 · 4 = 520.
Умножаем 0 единиц, затем 3 десятка на 4 и 1 сотню на 4; получаем 520.
Полное второе действие: 600 — 520 = 80.
После вычитания значение выражения в скобках равно 80.
Третье действие: 80 : 10 = 8.
Полное четвёртое действие: 900 — 8 = 892.
Из 900 вычитаем 8 с заимствованием через нули и получаем 892.
Значение третьего выражения равно 892.
В четвёртом выражении деление и умножение выполняем раньше сложения и вычитания.
Полное первое действие: 130 : 5 = 26.
Первое неполное делимое 13 десятков: 13 : 5 = 2, остаток 3 десятка; сносим 0 и получаем 30 : 5 = 6.
Полное второе действие: 26 · 2 = 52.
После вычисления произведения выражение принимает вид 800 — 250 + 52.
Полное третье действие: 800 — 250 = 550.
Сложение и вычитание имеют одинаковую ступень, поэтому продолжаем слева направо.
Шаг 2. Полное четвёртое действие: 550 + 52 = 602.
Получаем значение четвёртого выражения 602.
В пятом выражении сначала делим 348 на 4.
Полное первое действие: 348 : 4 = 87.
Делим 34 десятка на 4, получаем 8 десятков и остаток 2 десятка; после сноса 8 делим 28 на 4 и получаем 7.
Полное второе действие: 87 · 6 = 522.
Умножаем 7 · 6 = 42, записываем 2 и переносим 4 десятка; затем 8 · 6 + 4 = 52.
Полное третье действие: 900 — 522 = 378.
Вычитаем с заимствованием через нули и получаем значение пятого выражения 378.
В шестом выражении два деления выполняются последовательно слева направо.
Полное первое действие: 612 : 6 = 102.
Шесть сотен делим на 6 и получаем 1 сотню. Следующее неполное делимое 1 меньше 6, поэтому в десятках частного пишем 0.
Сносим цифру 2 и получаем 12 : 6 = 2, поэтому частное равно 102.
Полное второе действие: 102 : 3 = 34.
Первое неполное делимое 10 десятков даёт 3 десятка и остаток 1 десяток; после сноса 2 получаем 12 : 3 = 4.
После двух делений выражение имеет вид 696 — 34.
Последнее вычитание удобно выполнить разрядно: 696 — 34 = 600 + (90 — 30) + (6 — 4).
Получаем 600 + 60 + 2 = 662.
Итоговое значение шестого выражения равно 662.
В делении уголком сохранены промежуточные делимые, вычитания и нули в частных 102 и 8 020.
Вычисления дают последовательность результатов: 549, 500, 892, 602, 378 и 662.
Запиши и прочитай наименьшее семизначное и наибольшее пятизначное числа.
Наименьшее семизначное число — 1 000 000. Читается: один миллион.
Наибольшее пятизначное число — 99 999. Читается: девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять.
Пояснения
Шаг 1. Семизначное число должно содержать семь цифр, причём первая цифра не может быть нулём.
Чтобы получить наименьшее такое число, первой ставим наименьшую возможную цифру 1.
Во всех остальных шести разрядах ставим нули.
Получаем число 1 000 000.
В нём одна единица класса миллионов, поэтому читаем его как «один миллион».
Предыдущее число 999 999 имеет только шесть цифр, значит, миллион действительно является первым семизначным числом.
Пятизначное число содержит пять цифр.
Шаг 2. Чтобы получить самое большое пятизначное число, в каждом разряде ставим наибольшую цифру 9.
Получаем 99 999.
В числе 99 тысяч и 999 единиц, поэтому читаем его по классам.
Полное чтение: «девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять».
Следующее число 100 000 уже шестизначное, поэтому 99 999 является последним пятизначным числом.
Ответы записаны с пробелами между классами для удобства чтения.
Покупателю продали дыни по одинаковой цене за 1 кг: одну массой 5 кг, другую массой 3 кг. Вся эта покупка стоила a р. Запиши по данному условию выражения, которые показывают:
1) сколько стоил 1 кг дыни;
2) сколько стоила каждая дыня.
1) a : (5 + 3) = a : 8 (р.) — цена 1 кг дыни.
2) a : (5 + 3) · 5 = a : 8 · 5 (р.) — стоимость первой дыни;
a : (5 + 3) · 3 = a : 8 · 3 (р.) — стоимость второй дыни.
Пояснения
Шаг 1. Связываем массу, цену одного килограмма и стоимость в таблице.
| Покупка | Масса | Цена 1 кг | Стоимость |
|---|---|---|---|
| Первая дыня | 5 кг | a : 8 р. | a : 8 · 5 р. |
| Вторая дыня | 3 кг | a : 8 р. | a : 8 · 3 р. |
| Вся покупка | 8 кг | a : 8 р. | a р. |
Масса первой дыни равна 5 кг, масса второй — 3 кг.
Сначала находим общую массу покупки: 5 + 3 = 8 кг.
Буква a обозначает стоимость обеих дынь вместе.
Цена одного килограмма для обеих дынь одинакова.
Чтобы найти цену 1 кг, общую стоимость делим на общую массу.
Получаем выражение a : (5 + 3), или после сложения a : 8.
Для первой дыни цену одного килограмма умножаем на её массу 5 кг.
Стоимость первой дыни выражается так: a : 8 · 5 рублей.
Для второй дыни ту же цену умножаем на массу 3 кг.
Стоимость второй дыни выражается так: a : 8 · 3 рублей.
Проверяем связь двух стоимостей: a : 8 · 5 + a : 8 · 3 = a : 8 · (5 + 3).
Шаг 2. Так как 5 + 3 = 8, сумма равна a : 8 · 8 = a рублей.
Проверка вернула общую стоимость покупки, поэтому выражения составлены согласованно.
Числовое значение a не задано, поэтому ответы оставляем буквенными выражениями.
Итог: цена 1 кг равна a : 8 р., а стоимости дынь равны a : 8 · 5 р. и a : 8 · 3 р.