ГДЗ Математика 4 класс Моро учебник 1 часть — страница 92

Шаг 1. Собираем известные и найденные величины в таблице.

Дима купил 4 игрушки, Настя — 3 игрушки, поэтому сумма 3 + 4 показывает общее количество игрушек.

Вычисляем 3 + 4 = 7 игрушек.

Общая стоимость 56 р. относится ко всем семи игрушкам, а цена каждой игрушки одинакова.

Шаг 2. Чтобы найти цену одной игрушки, общую стоимость делим на количество: 56 : 7 = 8 р.

Поэтому выражение 56 : (3 + 4) обозначает цену одной игрушки.

Настя купила 3 игрушки, значит, цену одной игрушки умножаем на 3.

Выражение 56 : (3 + 4) · 3 даёт 8 · 3 = 24 р. — стоимость покупки Насти.

Шаг 3. Дима купил 4 игрушки, поэтому цену одной игрушки умножаем на 4.

Выражение 56 : (3 + 4) · 4 даёт 8 · 4 = 32 р. — стоимость покупки Димы.

Проверяем стоимость двух покупок: 24 + 32 = 56 р.

Все четыре выражения связаны одной зависимостью: цена · количество = стоимость.

Сумма стоимостей Насти и Димы равна общей стоимости: 24 + 32 = 56 р.

Шаг 1. Представляем данные задачи в таблице. Буква d обозначает стоимость всей покупки.

Сначала объединяем две группы тетрадей: 6 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку.

Сумма 6 + 5 равна 11 и показывает общее количество купленных тетрадей.

Все тетради стоят одинаково, поэтому общую стоимость можно разделить на общее количество.

Шаг 2. Выражение d : (6 + 5), или d : 11, обозначает цену одной тетради в рублях.

Для стоимости тетрадей в клетку цену одной тетради умножаем на их количество 6.

Поэтому выражение d : (6 + 5) · 6 обозначает стоимость шести тетрадей в клетку.

Аналогичное выражение d : (6 + 5) · 5 показало бы стоимость тетрадей в линейку.

Шаг 3. Сумма стоимостей двух видов тетрадей должна быть равна d рублей.

Проверка буквами: d : 11 · 6 + d : 11 · 5 = d : 11 · 11 = d.

Каждое выражение объясняем словами, не выбирая произвольное числовое значение для d.

Шаг 1. Сводим данные о двух кусках одинаковой ткани в таблицу.

В первом куске 5 м ткани, во втором 7 м, поэтому вместе купили 5 + 7 = 12 м.

Буква k обозначает общую стоимость всех 12 м ткани.

Цена одного метра одинакова для обоих кусков.

Шаг 2. Общую стоимость делим на общее количество метров: k : (5 + 7) = k : 12.

Следовательно, первое выражение обозначает цену одного метра ткани.

Чтобы найти стоимость первого куска, цену одного метра умножаем на 5.

Выражение k : (5 + 7) · 5 обозначает стоимость 5 м ткани.

Шаг 3. Для второго куска цену одного метра умножаем на 7.

Выражение k : (5 + 7) · 7 обозначает стоимость 7 м ткани.

Проверяем связь: стоимость первого куска плюс стоимость второго куска равна k рублей.

Числовое значение k не задано, поэтому ответы оставляем в виде выражений.

Сумма стоимостей двух кусков восстанавливает общую стоимость k рублей.

Шаг 1. В первой строке результат 13 можно получить, если сначала вычесть 60 из 78.

Заключаем разность 78 — 60 в скобки: (78 — 60) : 2 + 4.

Первое действие: 78 — 60 = 18.

Второе действие: 18 : 2 = 9.

Третье действие: 9 + 4 = 13. Первое равенство стало верным.

Во второй строке из 78 требуется вычесть всю сумму 60 : 2 + 4.

Заключаем в скобки выражение 60 : 2 + 4: 78 — (60 : 2 + 4).

Внутри скобок сначала выполняем деление: 60 : 2 = 30.

Затем прибавляем 4: 30 + 4 = 34.

Последнее действие: 78 — 34 = 44. Второе равенство тоже верно.

Числа и знаки действий остались прежними, изменилось только положение скобок.

Проверка первого равенства даёт 13, проверка второго — 44.

Шаг 2. Дополнительно проверяем первую расстановку по принятому порядку действий: выражение в скобках имеет преимущество перед делением и сложением.

Без скобок в первой строке сначала получилось бы 60 : 2 = 30, а затем 78 — 30 + 4 = 52, поэтому исходная запись не даёт требуемого числа 13.

Скобки вокруг разности меняют первое действие, но сохраняют все данные числа 78, 60, 2 и 4.

Во втором равенстве скобки должны охватить и деление, и последующее сложение, потому что из 78 вычитается число 34 целиком.

Если заключить в скобки только 60 : 2, результат не изменится: деление и без того выполняется раньше вычитания и сложения.

Если заключить в скобки только 2 + 4, получится 78 — 60 : 6 = 68, а не 44.

Значит, найденные варианты согласуются не только с ответами, но и с правилом порядка действий.

В первой записи действия идут так: вычитание, деление, сложение. Во второй: деление, сложение, вычитание.

Шаг 1. Чтобы узнать, во сколько раз одна величина больше другой, приводим их к одинаковым единицам и делим большее число на меньшее.

Один дециметр содержит 10 сантиметров, а один сантиметр содержит 10 миллиметров.

Значит, 1 дм = 10 · 10 = 100 мм.

Сравниваем 100 мм и 1 мм: 100 : 1 = 100. Один дециметр больше одного миллиметра в 100 раз.

Один центнер равен 100 кг.

Сравниваем 100 кг и 10 кг: 100 : 10 = 10. Центнер больше 10 кг в 10 раз.

Один час равен 60 минутам.

Делим 60 мин на 10 мин: 60 : 10 = 6. Один час больше 10 минут в 6 раз.

Один километр равен 1 000 м.

Делим 1 000 м на 100 м: 1 000 : 100 = 10. Километр больше 100 м в 10 раз.

При сравнении площадей учитываем две стороны квадрата, а не только одну длину.

В одном метре 100 сантиметров, поэтому 1 м² = 100 см · 100 см = 10 000 см².

Сравниваем 10 000 см² и 1 см²: 10 000 : 1 = 10 000.

Итоги записываем отдельно для длины, массы, времени и площади.

Проверяем единицы: в каждом делении сравниваются величины одного вида и в одинаковых единицах.

Квадратные единицы изменяются в 10 000 раз при переходе от квадратного метра к квадратному сантиметру.

Ответы в порядке вопросов: 100, 10, 6, 10 и 10 000 раз.

Не смешиваем соотношение длин 1 м = 100 см с соотношением площадей 1 м² = 10 000 см².

Шаг 2. В первом пункте можно выполнить перевод одной цепочкой: 1 дм = 10 см = 100 мм.

После перевода единица измерения в обеих сравниваемых величинах одинакова, поэтому в частном она сокращается и остаётся число раз.

Во втором пункте 10 кг составляют десятую часть центнера, следовательно, полный центнер содержит десять таких частей.

В третьем пункте 10 минут укладываются в 60 мин шесть раз: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60.

В четвёртом пункте 100 м составляют десятую часть километра, так как 10 · 100 м = 1 000 м.

Для пятого пункта мысленно представляем квадрат со стороной 1 м.

По каждой стороне такого квадрата помещается 100 отрезков длиной 1 см.

Квадратов со стороной 1 см будет 100 рядов по 100 квадратов, то есть 100 · 100 = 10 000.

Именно поэтому коэффициент перевода площади равен квадрату коэффициента перевода длины: 100² = 10 000.

Проверка обратным переводом: 10 000 см² : 10 000 = 1 м².

Во всех пяти случаях вопрос требует отношение величин, поэтому ответ формулируем словами «в … раз», а не называем только результат деления.

Шаг 1. Высота прыжка равна 2 м 35 см, а рост спортсмена на 49 см меньше этой высоты.

Для вычитания переводим высоту прыжка в сантиметры.

Два метра равны 200 см, поэтому 2 м 35 см = 200 см + 35 см = 235 см.

Чтобы найти меньшую величину, из высоты прыжка вычитаем разницу 49 см.

Полное действие: 235 — 49 = 186 см.

В разряде единиц из 5 нельзя вычесть 9, поэтому занимаем один десяток и вычисляем 15 — 9 = 6.

В десятках остаётся 2 десятка; из 2 вычитаем 4, занимая одну сотню, и получаем 8 десятков.

В разряде сотен после заимствования остаётся 1 сотня, поэтому результат равен 186 см.

Переводим 186 см обратно: 100 см = 1 м, остаётся 86 см.

Проверяем: 186 см + 49 см = 235 см, то есть прыжок действительно выше роста на 49 см.

Итоговый рост записываем в метрах и сантиметрах: 1 м 86 см.

Шаг 1. Записываем известные и найденные величины в таблице.

Каждый день хлебозавод выпекал одинаковое количество хлеба.

За 3 дня выпекли 705 т, поэтому сначала находим количество за один день.

Общее количество делим на число дней: 705 : 3.

Полное действие: 705 : 3 = 235 т.

Делим 7 сотен на 3 и получаем 2 сотни, остаток 1 сотня.

Сносим 0 десятков: 10 : 3 = 3 десятка, остаток 1 десяток.

Сносим 5 единиц: 15 : 3 = 5. Частное равно 235.

Одна неделя содержит 7 дней.

Чтобы найти количество за неделю, дневную выработку умножаем на 7.

Шаг 2. Полное действие: 235 · 7 = 1 645 т.

Умножаем 5 на 7, затем десятки и сотни, учитывая переносы в следующий разряд.

Проверяем связь величин: 1 645 : 7 = 235 т за день.

Можно записать решение одним выражением: (705 : 3) · 7.

Первое действие выражения находит дневную выработку, второе — количество за семь дней.

Ответ относится ко всей неделе: 1 645 т хлеба.

Дневная и недельная выработка связаны последовательными действиями:
705 : 3 = 235 т — выпекают за один день;
235 · 7 = 1 645 т — выпекают за семь дней.

Проверка первого действия: 235 · 3 = 705 т. Проверка второго: 1 645 : 7 = 235 т. Обе проверки дают одну и ту же ежедневную выработку.

Шаг 1. Сопоставляем расход за час, время и общее количество бензина.

Сначала узнаём, сколько литров машина расходовала за один час.

За 3 часа израсходовано 27 л, поэтому 27 : 3 = 9 л/ч.

По условию расход уменьшился на 1 л в час.

Шаг 2. Вычитаем: 9 — 1 = 8 л/ч. Это новый почасовой расход.

Теперь известно общее количество бензина 96 л и новый расход 8 л за час.

Количество часов находим делением общего запаса на расход за один час.

Вычисляем 96 : 8 = 12 часов.

Проверяем: 8 · 12 = 96 л, весь запас бензина учтён.

Шаг 3. Прежний расход 9 л/ч нужен только для нахождения нового расхода.

Число 12 отвечает на вопрос задачи о продолжительности езды.

Если расход уменьшается, того же количества бензина хватает на большее время, что соответствует результату.

Шаг 4. Окончательный ответ: 12 часов езды.

Зависимость здесь обратная: при одном и том же запасе уменьшение расхода за час увеличивает возможное время поездки.

Сначала нельзя делить 96 л на число 9, потому что 9 л/ч относится к прежнему, а не к новому режиму расхода.

Шаг 5. Новый расход обязательно находим до вычисления времени: 9 — 1 = 8 л/ч.

Единицы в последнем действии подтверждают смысл ответа: литры делим на литры в час и получаем часы.

Можно объединить решение в выражение: 96 : (27 : 3 — 1) = 96 : 8 = 12 ч.

Шаг 1. Для каждого действия используем обратное действие: сложение проверяем вычитанием, вычитание — сложением, умножение — делением, деление — умножением.

Первый пример записываем по разрядам: единицы под единицами, десятки под десятками и так далее.

Полное действие: 45 845 + 3 509 = 49 354.

Складываем единицы: 5 + 9 = 14. Записываем 4, а 1 десяток переносим в разряд десятков.

Складываем десятки: 4 + 0 + 1 = 5. В этом разряде переноса дальше нет.

Складываем сотни: 8 + 5 = 13. Записываем 3 сотни, 1 тысячу переносим.

Складываем тысячи: 5 + 3 + 1 = 9. Десятки тысяч дают цифру 4.

Получаем сумму 49 354.

Проверяем сложение: из суммы вычитаем первое слагаемое, чтобы получить второе.

Полная проверка: 49 354 — 45 845 = 3 509.

В проверке занимаем десяток для единиц: 14 — 5 = 9.

В сотнях 3 меньше 8, поэтому занимаем одну тысячу и получаем 13 — 8 = 5.

Остальные разряды дают 3 тысячи и 0 десятков тысяч, поэтому разность равна 3 509.

Проверка вернула второе слагаемое, значит, сложение выполнено верно.

Во втором примере вычитаемое 6 945 располагаем под соответствующими разрядами числа 50 102.

Полное действие: 50 102 — 6 945 = 43 157.

Из 2 единиц нельзя вычесть 5, а в разряде десятков стоит 0, поэтому занимаем через разряд сотен.

После заимствования получаем 12 — 5 = 7 единиц и 9 — 4 = 5 десятков.

В сотнях после первого заимствования остаётся 0, поэтому для вычитания 9 сотен занимаем через нулевой разряд тысяч у десятков тысяч.

Получаем 10 — 9 = 1 сотню, затем 9 — 6 = 3 тысячи и 4 десятка тысяч.

Разность равна 43 157.

Вычитание проверяем сложением разности и вычитаемого.

Полная проверка: 43 157 + 6 945 = 50 102.

Складываем справа налево и переносим десятки в следующий разряд.

7 + 5 = 12, затем 5 + 4 + 1 = 10; следующие переносы восстанавливают нули в середине числа 50 102.

Сумма равна уменьшаемому 50 102, поэтому вычитание выполнено верно.

В третьем примере умножаем многозначное число на однозначное, начиная с единиц.

Шаг 2. Полное действие: 7 306 · 4 = 29 224.

Умножаем 6 единиц на 4: получаем 24, пишем 4 и переносим 2 десятка.

Ноль десятков умножаем на 4 и прибавляем перенос 2, поэтому в разряде десятков стоит 2.

Три сотни умножаем на 4: получаем 12 сотен, пишем 2 и переносим 1 тысячу.

Семь тысяч умножаем на 4 и прибавляем перенос: 28 + 1 = 29 тысяч.

Произведение равно 29 224.

Умножение проверяем делением произведения на множитель 4.

Полная проверка: 29 224 : 4 = 7 306.

Первое неполное делимое 29 тысяч даёт 7 тысяч и остаток 1 тысяча.

Сносим 2 сотни и получаем 12 сотен: 12 : 4 = 3.

Следующее неполное делимое 2 меньше 4, поэтому в разряде десятков частного обязательно пишем 0.

После сноса последней цифры получаем 24 : 4 = 6. Частное равно 7 306.

Проверка вернула первый множитель, значит, произведение найдено верно.

В четвёртом примере выполняем деление 87 540 на 6 уголком.

Полное действие: 87 540 : 6 = 14 590.

Первое неполное делимое 8 десятков тысяч даёт 1 десяток тысяч, остаётся 2 десятка тысяч.

После сноса 7 тысяч получаем 27 тысяч: 27 : 6 = 4, остаток 3 тысячи.

Сносим 5 сотен: 35 : 6 = 5, остаток 5 сотен.

Сносим 4 десятка: 54 : 6 = 9 без остатка.

Сносим последнюю цифру 0 и записываем 0 единиц в частном. Получаем 14 590.

Деление проверяем умножением частного на делитель.

Полная проверка: 14 590 · 6 = 87 540.

Умножаем по разрядам справа налево, сохраняя ноль в разряде единиц произведения.

Переносы над десятками, сотнями и тысячами приводят к результату 87 540.

Проверочное произведение совпало с делимым, поэтому частное 14 590 верно.

Нули внутри чисел 50 102, 7 306, 14 590 и 87 540 сохраняют положение разрядов и не пропускаются.

Итоговые результаты четырёх основных действий: 49 354, 43 157, 29 224 и 14 590.

Разбираем первую проверку подробнее. В разряде десятков после заимствования у числа 49 354 остаётся 4 десятка, а у вычитаемого стоит 4 десятка, поэтому получаем 0.

В разряде сотен после следующего заимствования вычитаем 8 из 13 и получаем 5 сотен.

В тысячах остаётся 8 тысяч, из них вычитаем 5 тысяч и получаем 3 тысячи; десятки тысяч взаимно уничтожаются.

Так письменная проверка первого примера даёт именно 3 509, включая ноль в разряде десятков.

Во втором основном действии заимствование проходит через два нуля числа 50 102.

Один десяток тысяч превращаем в 10 тысяч, одну тысячу передаём сотням, а одну сотню — десяткам.

После этой подготовки по разрядам получаются цифры 7 единиц, 5 десятков, 1 сотня, 3 тысячи и 4 десятка тысяч.

При проверочном сложении 43 157 + 6 945 сумма единиц равна 12, поэтому 1 переносим к десяткам.

Сумма десятков 5 + 4 + 1 равна 10: записываем 0 и переносим 1 к сотням.

Сотни дают 1 + 9 + 1 = 11, тысячи дают 3 + 6 + 1 = 10, поэтому два внутренних нуля числа 50 102 восстанавливаются последовательно.

В третьем основном действии письменная запись сохраняет ноль в числе 7 306, хотя умножение нуля на 4 даёт ноль.

К этому нулю прибавляется перенос 2 из произведения 6 · 4, поэтому цифра десятков результата равна 2.

При проверочном делении 29 224 : 4 ноль в частном также обязателен: после получения цифры сотен сносим 2 десятка, а 2 меньше 4.

Если пропустить этот ноль, разряды цифр 6 и 3 сместятся и получится неверное частное.

В четвёртом основном действии первое неполное делимое 8 содержит делитель 6 один раз, поэтому первая цифра частного равна 1.

Из 8 вычитаем 6, к остатку 2 приписываем следующую цифру 7 и продолжаем деление с числом 27.

После получения цифр 1, 4, 5 и 9 сносим последний ноль делимого; нулевой остаток делим на 6 и дописываем 0 в частное.

Проверочное умножение 14 590 · 6 начинаем с 0 · 6 = 0 и тем самым подтверждаем последнюю цифру делимого.

Далее 9 · 6 = 54, 5 · 6 + 5 = 35, 4 · 6 + 3 = 27 и 1 · 6 + 2 = 8.

Полученные справа налево цифры образуют 87 540, то есть исходное делимое восстановлено полностью.

Для каждого примера совпали основной результат и результат обратной проверки; это позволяет считать все четыре вычисления подтверждёнными.

Четыре действия и четыре проверки:
45 845 + 3 509 = 49 354; 49 354 — 45 845 = 3 509.
50 102 — 6 945 = 43 157; 43 157 + 6 945 = 50 102.
7 306 · 4 = 29 224; 29 224 : 4 = 7 306.
87 540 : 6 = 14 590; 14 590 · 6 = 87 540.

В первой сумме переносы возникают из единиц и сотен. В первой проверке заимствования возвращают второе слагаемое 3 509. Во второй разности заимствование проходит через нули числа 50 102, а проверочное сложение последовательно восстанавливает оба нуля.

В произведении 7 306 · 4 единицы дают 24, десятки с переносом — 2, сотни — 12, тысячи с переносом — 29. В делении 87 540 : 6 цифры частного получаются по порядку 1, 4, 5, 9 и 0. Последний ноль обязателен, потому что после сноса нуля делимого получается нулевое неполное делимое.

Все обратные действия точно восстанавливают исходные числа, поэтому ответы 49 354, 43 157, 29 224 и 14 590 подтверждены.

Шаг 1. В первом уравнении неизвестно делимое. Делимое равно частному, умноженному на делитель.

Вычисляем x = 11 · 9 = 99 и проверяем: 99 : 9 = 11.

Во втором уравнении неизвестно первое слагаемое.

Неизвестное слагаемое находим вычитанием: x = 2 075 — 75 = 2 000.

Проверяем сложением: 2 000 + 75 = 2 075.

В третьем уравнении неизвестен первый множитель.

Неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель: x = 720 : 8 = 90.

Проверка: 90 · 8 = 720.

В четвёртом уравнении неизвестно уменьшаемое.

Уменьшаемое равно сумме разности и вычитаемого: x = 360 + 80 = 440.

Проверка: 440 — 80 = 360.

Шаг 2. В пятом уравнении неизвестен делитель.

Делитель находим делением делимого на частное: x = 56 : 56 = 1.

Проверяем: 56 : 1 = 56.

В шестом уравнении неизвестно вычитаемое.

Вычитаемое равно уменьшаемому минус разность: x = 90 — 90 = 0.

Проверка: 90 — 0 = 90.

Каждая подстановка превращает уравнение в верное числовое равенство.

Найденные значения по порядку: 99, 2 000, 90, 440, 1 и 0. Для каждого уравнения выбрано обратное действие в соответствии с ролью x.

Нулевой корень шестого уравнения сохраняет уменьшаемое: 90 — 0 = 90.

Шаг 1. Семизначное число содержит семь цифр.

Наименьшее семизначное число начинается с 1, а остальные шесть цифр равны нулю: c = 1 000 000.

Шестизначное число содержит шесть цифр.

Наибольшее шестизначное число состоит из шести девяток: k = 999 999.

Подставляем найденные числа в выражение c — k.

Шаг 2. Получаем 1 000 000 — 999 999.

Число 999 999 на единицу меньше миллиона.

Поэтому разность равна 1.

Проверяем сложением: 999 999 + 1 = 1 000 000.

Итоговое значение выражения c — k равно 1.

Между наибольшим шестизначным числом 999 999 и наименьшим семизначным числом 1 000 000 нет других натуральных чисел. Это соседние числа, поэтому их разность равна единице.