Объясни, почему верны равенства.
1) 170 · 3 + 170 = 170 · 4;
560 · 9 — 560 = 560 · 8;
96 · 4 + 96 · 6 = 96 · 10;
45 · 3 + 450 = 450 + 3 · 45.
2) (81 + 27) : 9 = 81 : 9 + 27 : 9;
(540 — 180) : 6 = 540 : 6 — 180 : 6.
1)
170 · 3 + 170 = 170 · 3 + 170 · 1 = 170 · (3 + 1) = 170 · 4 = 680.
560 · 9 — 560 = 560 · 9 — 560 · 1 = 560 · (9 — 1) = 560 · 8 = 4 480.
96 · 4 + 96 · 6 = 96 · (4 + 6) = 96 · 10 = 960.
45 · 3 + 450 = 135 + 450 = 585, а 450 + 3 · 45 = 450 + 135 = 585.
2)
(81 + 27) : 9 = 108 : 9 = 12, а 81 : 9 + 27 : 9 = 9 + 3 = 12.
(540 — 180) : 6 = 360 : 6 = 60, а 540 : 6 — 180 : 6 = 90 — 30 = 60.
Ответ: обе части каждого равенства имеют одинаковое значение.
Пояснения
Шаг 1. Произведение 170 · 3 означает сумму трёх одинаковых слагаемых по 170.
Если к этой сумме добавить ещё 170, одинаковых слагаемых станет четыре.
Поэтому 170 · 3 + 170 можно записать как 170 · 3 + 170 · 1.
Выносим общий множитель 170: 170 · (3 + 1) = 170 · 4. Обе части равны 680.
В выражении 560 · 9 — 560 вычитается одно такое же слагаемое 560.
Запись 560 заменяем произведением 560 · 1 и получаем 560 · (9 — 1).
После уменьшения количества одинаковых слагаемых на одно остаётся восемь слагаемых: 560 · 8 = 4 480.
В третьем равенстве слева соединены четыре и шесть одинаковых групп по 96.
Всего получается 4 + 6 = 10 групп, поэтому 96 · 4 + 96 · 6 = 96 · 10.
Проверяем численно: 384 + 576 = 960 и 96 · 10 = 960.
В четвёртом равенстве множители 45 и 3 можно поменять местами: 45 · 3 = 3 · 45.
После этого слева и справа стоят одинаковые слагаемые 135 и 450, только их порядок различается.
Переместительное свойство сложения даёт 135 + 450 = 450 + 135 = 585.
Шаг 2. Во втором подпункте сумму 81 + 27 можно делить на 9 по частям, потому что каждое слагаемое делится на 9 без остатка.
Левая часть первого равенства равна 108 : 9 = 12.
Правая часть равна 81 : 9 + 27 : 9 = 9 + 3 = 12.
Таким образом, правило деления суммы на число подтверждено одинаковым результатом 12.
Разность 540 — 180 также можно делить на 6 по частям: и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на 6.
Сначала проверяем левую часть: 540 — 180 = 360, затем 360 : 6 = 60.
Для правой части вычисляем 540 : 6 = 90 и 180 : 6 = 30.
Вычитаем частные: 90 — 30 = 60. Результат совпал с левой частью.
В первых трёх равенствах использовано распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания.
В четвёртом равенстве применены переместительные свойства умножения и сложения.
В последних двух равенствах применены правила деления суммы и разности на число.
Числовая проверка показывает, что слева и справа во всех шести случаях получаются равные числа.
Шаг 3. Первое равенство можно увидеть как сумму 170 + 170 + 170 + 170: слева первые три слагаемых записаны произведением, а четвёртое оставлено отдельно.
Справа та же сумма сразу заменена произведением 170 · 4, поэтому порядок и количество слагаемых совпадают.
Во втором равенстве произведение 560 · 9 содержит девять слагаемых по 560. После вычитания одного слагаемого остаётся восемь.
Третье равенство объединяет две группы одинаковых слагаемых. В одной группе четыре числа 96, в другой — шесть, всего десять.
Для четвёртого равенства отдельно проверяем перемену мест множителей: 45 · 3 = 3 · 45 = 135.
Затем действует переместительное свойство сложения: если поменять местами 135 и 450, сумма 585 не изменится.
Правило деления суммы на число применимо здесь без остатка: 81 и 27 кратны 9.
После раздельного деления получаем девять единиц и три единицы; их сумма равна двенадцати единицам.
Правило деления разности на число тоже удобно применять, поскольку 540 и 180 делятся на 6 без остатка.
Сначала можно уменьшить числа делением до 90 и 30, а затем найти их разность 60.
Ни в одном равенстве не меняется значение выражения: меняется только способ группировки или порядок вычислений.
Окончательная проверка по значениям: 680 = 680; 4 480 = 4 480; 960 = 960; 585 = 585; 12 = 12; 60 = 60.
Вычисли.
1 · 43 + 54 · 0; 81 · 1 — 0 · 32;
(84 — 7 · 12) · 35; 75 · (48 — 2 · 24);
(90 — 89) · 35; 18 · (53 — 52).
1) 1 1· 43 2+ 54 1· 0 = 43 + 0 = 43.
2) 81 1· 1 2— 0 1· 32 = 81 — 0 = 81.
3) (84 2— 7 1· 12) 3· 35 = (84 — 84) · 35 = 0.
4) 75 3· (48 2— 2 1· 24) = 75 · (48 — 48) = 0.
5) (90 1— 89) 2· 35 = 1 · 35 = 35.
6) 18 2· (53 1— 52) = 18 · 1 = 18.
Ответ: 43; 81; 0; 0; 35; 18.
Пояснения
Шаг 1. В выражениях без скобок сначала выполняем умножение, затем сложение или вычитание.
Единица не изменяет число при умножении: 1 · 43 = 43.
Произведение любого числа и нуля равно нулю: 54 · 0 = 0.
Поэтому первое выражение имеет значение 43 + 0 = 43.
Во втором выражении 81 · 1 = 81, а 0 · 32 = 0.
После вычитания нуля получаем 81 — 0 = 81.
В третьем выражении первым действием находим 7 · 12 = 84.
В скобках получается 84 — 84 = 0, а 0 · 35 = 0.
В четвёртом выражении сначала вычисляем 2 · 24 = 48.
Разность в скобках равна 48 — 48 = 0, поэтому 75 · 0 = 0.
В пятом выражении действие в скобках даёт 90 — 89 = 1.
Умножение единицы на 35 не изменяет второй множитель: 1 · 35 = 35.
В шестом выражении 53 — 52 = 1.
Число при умножении на единицу остаётся тем же: 18 · 1 = 18.
Шаг 2. Синие номера над знаками показывают порядок действий и не являются множителями.
Результаты записываем в исходном порядке: 43, 81, 0, 0, 35, 18.
Разберём особые случаи умножения отдельно: при умножении на 1 сохраняется исходное число, а при умножении на 0 всегда получается 0.
Поэтому в первом выражении нет необходимости складывать 54 нуля: произведение 54 · 0 сразу равно 0.
Во втором выражении произведение 0 · 32 также равно 0 независимо от значения второго множителя.
В выражениях со скобками сначала получаем значение внутренней части, и только потом умножаем внешний множитель.
Третье и четвёртое выражения устроены одинаково: внутри скобок получается ноль, поэтому всё произведение обращается в ноль.
Пятое и шестое выражения тоже образуют пару: внутри скобок получается единица, поэтому внешний множитель сохраняется.
Проверяем третье выражение полной подстановкой: (84 — 84) · 35 = 0 · 35 = 0.
Проверяем четвёртое выражение: 75 · (48 — 48) = 75 · 0 = 0.
Проверяем пятую строку: (90 — 89) · 35 = 1 · 35 = 35.
Проверяем шестую строку: 18 · (53 — 52) = 18 · 1 = 18.
Каждое выражение записываем отдельно:
1 · 43 + 54 · 0 = 43 + 0 = 43;
81 · 1 — 0 · 32 = 81 — 0 = 81;
(84 — 7 · 12) · 35 = (84 — 84) · 35 = 0;
75 · (48 — 2 · 24) = 75 · (48 — 48) = 0;
(90 — 89) · 35 = 1 · 35 = 35;
18 · (53 — 52) = 18 · 1 = 18.
Все шесть значений получены после действий в скобках.
Выполни умножение.
824 · 9; 916 · 3; 712 · 8; 27 428 · 4;
15 719 · 5; 24 845 · 2; 12 005 · 5; 30 704 · 6;
40 300 · 7; 7 020 · 9; 7 002 · 9; 7 200 · 9.
1) 824 · 9 = 7 416.
2) 916 · 3 = 2 748.
3) 712 · 8 = 5 696.
4) 27 428 · 4 = 109 712.
5) 15 719 · 5 = 78 595.
6) 24 845 · 2 = 49 690.
7) 12 005 · 5 = 60 025.
8) 30 704 · 6 = 184 224.
9) 40 300 · 7 = 282 100.
10) 7 020 · 9 = 63 180.
11) 7 002 · 9 = 63 018.
12) 7 200 · 9 = 64 800.
Ответ: 7 416; 2 748; 5 696; 109 712; 78 595; 49 690; 60 025; 184 224; 282 100; 63 180; 63 018; 64 800.
Пояснения
Шаг 1. Каждый многозначный множитель записываем так, чтобы однозначный множитель находился под разрядом единиц.
Умножение начинаем с единиц и движемся справа налево; десятки, полученные при умножении, переносим в следующий разряд.
Пример 1: 824 · 9 = 7 416.
В первом примере 4 · 9 = 36: записываем 6 единиц, 3 десятка переносим.
Затем 2 · 9 + 3 = 21: пишем 1 десяток, 2 сотни переносим. Получаем 8 · 9 + 2 = 74 сотни.
Пример 2: 916 · 3 = 2 748.
Проверяем разряды результата: 2 748 : 3 = 916.
Пример 3: 712 · 8 = 5 696.
Проверяем разряды результата: 5 696 : 8 = 712.
Пример 4: 27 428 · 4 = 109 712.
Проверяем разряды результата: 109 712 : 4 = 27 428.
Пример 5: 15 719 · 5 = 78 595.
Проверяем разряды результата: 78 595 : 5 = 15 719.
Пример 6: 24 845 · 2 = 49 690.
Проверяем разряды результата: 49 690 : 2 = 24 845.
Во втором произведении 6 · 3 = 18: записываем 8, переносим 1 десяток. Затем 1 · 3 + 1 = 4 и 9 · 3 = 27, поэтому 916 · 3 = 2 748.
В произведении 712 · 8 сначала 2 · 8 = 16, затем 1 · 8 + 1 = 9 и 7 · 8 = 56. Получаем 5 696. В примерах 27 428 · 4 и 15 719 · 5 каждый перенос прибавляем только к следующему разряду слева.
Для 24 845 · 2 имеем: 5 · 2 = 10, 4 · 2 + 1 = 9, 8 · 2 = 16, 4 · 2 + 1 = 9, 2 · 2 = 4. Поэтому произведение равно 49 690.
Шаг 2. Пример 7: 12 005 · 5 = 60 025.
В числе 12 005 нули занимают разряды сотен и десятков, поэтому их места в записи сохраняются.
5 · 5 = 25, затем перенос 2 попадает в десятки; после обработки нулевых разрядов и тысяч получаем 60 025.
Пример 8: 30 704 · 6 = 184 224.
Проверяем разряды результата: 184 224 : 6 = 30 704.
Пример 9: 40 300 · 7 = 282 100.
Проверяем разряды результата: 282 100 : 7 = 40 300.
Пример 10: 7 020 · 9 = 63 180.
Проверяем разряды результата: 63 180 : 9 = 7 020.
Пример 11: 7 002 · 9 = 63 018.
Проверяем разряды результата: 63 018 : 9 = 7 002.
Пример 12: 7 200 · 9 = 64 800.
Проверяем разряды результата: 64 800 : 9 = 7 200.
В примерах с нулями нельзя сокращать запись числа: каждый ноль удерживает свой разряд.
Все двенадцать произведений проверены обратным действием деления.
В произведении 30 704 · 6 ноль десятков и ноль тысяч остаются на своих местах, но переносы из соседних разрядов учитываются. Получаем 184 224.
В примере 40 300 · 7 сначала 3 сотни · 7 = 21 сотня, поэтому в результате появляются 2 тысячи и 1 сотня; после умножения 4 десятков тысяч получаем 282 100.
Последние три множителя отличаются положением нулей: 7 020 · 9 = 63 180, 7 002 · 9 = 63 018, 7 200 · 9 = 64 800. Нули нельзя переставлять, потому что они обозначают разные разряды.
После каждого умножения проверяем число делением на однозначный множитель. Если получаем исходное многозначное число, произведение и переносы записаны правильно.
Вычисли, соблюдая порядок действий.
(285 + 15) : 3 · 5 + 280;
400 — (60 + 30) : 10 · 1;
(300 — 100) — 100 : (10 : 5);
300 — (100 — 100) : (10 : 5).
1) (285 1+ 15) 2: 3 3· 5 4+ 280 = 300 : 3 · 5 + 280 = 100 · 5 + 280 = 780.
2) 400 4— (60 1+ 30) 2: 10 3· 1 = 400 — 90 : 10 · 1 = 400 — 9 = 391.
3) (300 1— 100) 4— 100 3: (10 2: 5) = 200 — 100 : 2 = 200 — 50 = 150.
4) 300 4— (100 1— 100) 3: (10 2: 5) = 300 — 0 : 2 = 300.
Ответ: 780; 391; 150; 300.
Пояснения
Шаг 1. Сначала выполняем действия в скобках. Затем умножение и деление выполняем слева направо, после них сложение и вычитание.
В первом выражении складываем 285 и 15: 285 + 15 = 300.
Далее делим 300 на 3 и получаем 100.
Умножаем 100 на 5: получается 500.
Последним действием прибавляем 280: 500 + 280 = 780.
Во втором выражении сначала находим сумму в скобках: 60 + 30 = 90.
Делим 90 на 10 и получаем 9, затем 9 · 1 = 9.
Вычитаем из 400 число 9: 400 — 9 = 391.
В третьем выражении первая пара скобок даёт 300 — 100 = 200.
Во второй паре скобок вычисляем 10 : 5 = 2.
После скобок выполняем деление 100 : 2 = 50.
Последнее действие третьего выражения: 200 — 50 = 150.
В четвёртом выражении разность 100 — 100 равна 0.
Одновременно вычисляем знаменатель второго деления: 10 : 5 = 2.
Ноль делим на 2 и получаем 0.
Из 300 вычитаем 0, поэтому значение четвёртого выражения равно 300.
В третьем и четвёртом выражениях положение скобок меняет промежуточные действия и конечный результат.
Для контроля подставляем полученные промежуточные значения в исходные выражения.
Синие номера помещены над соответствующими знаками действий, а не рядом с ними.
Итоговые значения в порядке задания: 780, 391, 150, 300.
Первую сумму можно проверить разложением: 285 + 15 = 285 + 10 + 5 = 300.
Шаг 2. Частное 300 : 3 равно 100, поскольку 100 · 3 = 300.
Полученное произведение 500 складываем с 280 по разрядам: 500 + 200 + 80 = 780.
Во втором выражении сумма 60 + 30 образует 9 десятков, то есть 90.
Деление на 10 уменьшает 90 в десять раз и даёт 9, а умножение на 1 сохраняет 9.
Разность 400 — 9 можно найти через полный десяток: 400 — 10 + 1 = 391.
В третьем выражении число 200 получается после первого действия и становится уменьшаемым последнего действия.
Число 2 из правых скобок служит делителем для 100, поэтому перед последним вычитанием получаем 50.
Проверка третьего результата: 150 + 50 = 200, а 50 · 2 = 100.
В четвёртом выражении делимое 0 образуется из разности двух одинаковых чисел.
Деление нуля на ненулевое число разрешено и всегда даёт 0: 0 : 2 = 0.
Проверка четвёртого результата: 300 — 300 = 0, что совпадает со значением вычитаемого выражения.
Сравнение третьей и четвёртой строк показывает, почему нельзя пропускать скобки: в третьей строке сначала вычитается 100 из 300, а в четвёртой — 100 из 100.
Если выполнить действия не в указанном порядке, значения 150 и 300 получить не удастся.
Каждая цепочка преобразований полностью сохраняет исходное значение и заканчивается одним числом.
Полные цепочки в порядке задания:
(285 + 15) : 3 · 5 + 280 = 300 : 3 · 5 + 280 = 100 · 5 + 280 = 780;
400 — (60 + 30) : 10 · 1 = 400 — 90 : 10 · 1 = 400 — 9 = 391;
(300 — 100) — 100 : (10 : 5) = 200 — 100 : 2 = 200 — 50 = 150;
300 — (100 — 100) : (10 : 5) = 300 — 0 : 2 = 300.
Проверки промежуточных действий: 100 · 3 = 300; 9 · 10 = 90; 50 · 2 = 100; 0 · 2 = 0.
В третьей строке из 200 вычитается 50. В четвёртой строке делимое равно нулю, поэтому частное равно нулю и число 300 не изменяется.
Итоговые значения четырёх строк равны 780, 391, 150 и 300. В первых двух строках после скобок выполняются деление и умножение, а в двух последних делителем служит значение выражения 10 : 5.
Вычисли.
656 · 4; 507 · 9; 219 · 5;
16 408 · 8; 40 019 · 9; 804 700 · 6.
(9 010 — 6 235) · 9; 8 · (4 348 + 2 062).
1) 656 · 4 = 2 624.
2) 507 · 9 = 4 563.
3) 219 · 5 = 1 095.
4) 16 408 · 8 = 131 264.
5) 40 019 · 9 = 360 171.
6) 804 700 · 6 = 4 828 200.
7) (9 010 — 6 235) · 9 = 2 775 · 9 = 24 975.
8) 8 · (4 348 + 2 062) = 8 · 6 410 = 51 280.
Ответ: 2 624; 4 563; 1 095; 131 264; 360 171; 4 828 200; 24 975; 51 280.
Пояснения
Шаг 1. Первые шесть произведений вычисляем отдельно, начиная с разряда единиц.
Пример 1: 656 · 4 = 2 624.
Проверка примера 1: 2 624 : 4 = 656.
Пример 2: 507 · 9 = 4 563.
Проверка примера 2: 4 563 : 9 = 507.
Пример 3: 219 · 5 = 1 095.
Проверка примера 3: 1 095 : 5 = 219.
Пример 4: 16 408 · 8 = 131 264.
Проверка примера 4: 131 264 : 8 = 16 408.
Шаг 2. Пример 5: 40 019 · 9 = 360 171.
Проверка примера 5: 360 171 : 9 = 40 019.
Пример 6: 804 700 · 6 = 4 828 200.
Проверка примера 6: 4 828 200 : 6 = 804 700.
В седьмом выражении первым действием вычисляем 9 010 — 6 235 = 2 775.
Шаг 3. Затем выполняем 2 775 · 9 = 24 975.
Проверяем порядок седьмого выражения: действие в скобках обязательно выполняется раньше умножения.
В восьмом выражении сначала складываем 4 348 + 2 062 = 6 410.
После этого умножаем 6 410 · 8 = 51 280.
Нули внутри множителей и результатов сохраняем, потому что они обозначают определённые разряды.
Результаты проверены обратными действиями и записаны в порядке условия.
Итоговые произведения по порядку:
656 · 4 = 2 624;
507 · 9 = 4 563;
219 · 5 = 1 095;
16 408 · 8 = 131 264;
40 019 · 9 = 360 171;
804 700 · 6 = 4 828 200;
(9 010 — 6 235) · 9 = 24 975;
8 · (4 348 + 2 062) = 51 280.
Увеличь в 8 раз каждое из чисел: 700, 900, 1 200. Уменьши в 7 раз каждое из чисел: 560, 98, 1 400.
Увеличиваем в 8 раз:
700 · 8 = 5 600;
900 · 8 = 7 200;
1 200 · 8 = 9 600.
Уменьшаем в 7 раз:
560 : 7 = 80;
98 : 7 = 14;
1 400 : 7 = 200.
Ответ: 5 600; 7 200; 9 600; 80; 14; 200.
Пояснения
Шаг 1. Увеличить число в 8 раз означает умножить его на 8.
Вычисляем 700 · 8 = 5 600.
Вычисляем 900 · 8 = 7 200.
Вычисляем 1 200 · 8 = 9 600.
Шаг 2. Уменьшить число в 7 раз означает разделить его на 7.
Вычисляем 560 : 7 = 80 и проверяем: 80 · 7 = 560.
Вычисляем 98 : 7 = 14 и проверяем: 14 · 7 = 98.
Шаг 3. Вычисляем 1 400 : 7 = 200 и проверяем: 200 · 7 = 1 400.
Уменьшение в несколько раз нельзя заменять вычитанием указанного числа.
Сначала объясни, в каком из уравнений каждой пары значение x будет больше, а потом проверь вычислением.
1) 400 — x = 170; 400 — x = 270.
2) x — 80 = 90 · 7; x — 80 = 90 · 5.
3) x : 6 = 56 + 44; x : 6 = 156 + 44.
1) В первом уравнении x больше:
400 — x = 170; x = 400 — 170; x = 230.
Проверка: 400 — 230 = 170.
400 — x = 270; x = 400 — 270; x = 130.
Проверка: 400 — 130 = 270.
230 > 130.
2) В первом уравнении x больше:
x — 80 = 90 · 7; x — 80 = 630; x = 710.
Проверка: 710 — 80 = 630.
x — 80 = 90 · 5; x — 80 = 450; x = 530.
Проверка: 530 — 80 = 450.
710 > 530.
3) Во втором уравнении x больше:
x : 6 = 56 + 44; x : 6 = 100; x = 600.
Проверка: 600 : 6 = 100.
x : 6 = 156 + 44; x : 6 = 200; x = 1 200.
Проверка: 1 200 : 6 = 200.
1 200 > 600.
Пояснения
Шаг 1. В первой паре уменьшаемое 400 одинаково. Чем меньше разность, тем больше вычитаемое x.
Поэтому до вычислений видно: в уравнении 400 — x = 170 значение x будет больше, чем при разности 270.
Неизвестное вычитаемое находим вычитанием разности из уменьшаемого.
Для первого уравнения получаем x = 400 — 170 = 230.
Проверяем подстановкой: 400 — 230 = 170.
Для второго уравнения x = 400 — 270 = 130; проверка даёт 400 — 130 = 270.
Шаг 2. Сравниваем найденные значения: 230 > 130. Предварительный вывод подтвердился.
Во второй паре вычитаемое 80 одинаково, а неизвестное x является уменьшаемым.
Большей правой части соответствует большее уменьшаемое. Так как 90 · 7 > 90 · 5, x будет больше в первом уравнении.
Вычисляем правую часть первого уравнения: 90 · 7 = 630.
Неизвестное уменьшаемое равно сумме разности и вычитаемого: x = 630 + 80 = 710.
Проверка первого уравнения: 710 — 80 = 630 = 90 · 7.
Шаг 3. Во втором уравнении 90 · 5 = 450, поэтому x = 450 + 80 = 530.
Проверка: 530 — 80 = 450 = 90 · 5. Получаем 710 > 530.
В третьей паре неизвестное x является делимым, а делитель 6 в обоих уравнениях одинаков.
При одинаковом делителе большей правой части соответствует большее делимое.
Сначала сравниваем суммы: 56 + 44 = 100, а 156 + 44 = 200.
Значит, x будет больше во втором уравнении третьей пары.
Шаг 4. Из x : 6 = 100 получаем x = 100 · 6 = 600.
Проверка: 600 : 6 = 100 = 56 + 44.
Из x : 6 = 200 получаем x = 200 · 6 = 1 200.
Проверка: 1 200 : 6 = 200 = 156 + 44.
Сравниваем: 1 200 > 600, поэтому предварительное объяснение верно.
Во всех трёх парах сначала использовали зависимость между компонентами действий, затем подтвердили вывод точным вычислением.
Точные сравнения корней: 230 > 130, 710 > 530 и 1 200 > 600. В первых двух парах больше первый корень, а в третьей паре — второй.
Выполни деление с остатком и проверь.
20 : 3; 35 : 8; 244 : 7; 167 : 9;
6 539 : 5; 8 969 : 9; 5 219 : 9; 1 860 : 8;
217 : 400; 130 : 400.
1) 20 : 3 = 6 (ост. 2). Проверка: 6 · 3 + 2 = 20.
2) 35 : 8 = 4 (ост. 3). Проверка: 4 · 8 + 3 = 35.
3) 244 : 7 = 34 (ост. 6). Проверка: 34 · 7 + 6 = 244.
4) 167 : 9 = 18 (ост. 5). Проверка: 18 · 9 + 5 = 167.
5) 6 539 : 5 = 1 307 (ост. 4). Проверка: 1 307 · 5 + 4 = 6 539.
6) 8 969 : 9 = 996 (ост. 5). Проверка: 996 · 9 + 5 = 8 969.
7) 5 219 : 9 = 579 (ост. 8). Проверка: 579 · 9 + 8 = 5 219.
8) 1 860 : 8 = 232 (ост. 4). Проверка: 232 · 8 + 4 = 1 860.
9) 217 : 400 = 0 (ост. 217). Проверка: 0 · 400 + 217 = 217.
10) 130 : 400 = 0 (ост. 130). Проверка: 0 · 400 + 130 = 130.
Ответ: остатки во всех примерах меньше соответствующих делителей.
Пояснения
Шаг 1. Для проверки деления с остатком сначала убеждаемся, что остаток меньше делителя.
Затем умножаем частное на делитель и прибавляем остаток. Должно получиться исходное делимое.
20 : 3 = 6 (ост. 2), потому что 6 · 3 = 18 и 18 + 2 = 20; 2 < 3.
35 : 8 = 4 (ост. 3), потому что 4 · 8 = 32 и 32 + 3 = 35; 3 < 8.
Для каждого многозначного примера выделяем неполные делимые по очереди и получаем цифры частного слева направо.
Пример 3: 24 : 7 даёт 3, остаток 3; 34 : 7 даёт 4, остаток 6.
244 : 7 = 34 (ост. 6).
Проверка умножением: 34 · 7 = 238.
Прибавляем остаток: 238 + 6 = 244; при этом 6 < 7.
Пример 4: 16 : 9 даёт 1, остаток 7; 77 : 9 даёт 8, остаток 5.
167 : 9 = 18 (ост. 5).
Проверка умножением: 18 · 9 = 162.
Прибавляем остаток: 162 + 5 = 167; при этом 5 < 9.
Пример 5: 6 : 5 даёт 1, остаток 1; 15 : 5 даёт 3, остаток 0; 3 : 5 даёт 0, остаток 3; 39 : 5 даёт 7, остаток 4.
6 539 : 5 = 1 307 (ост. 4).
Проверка умножением: 1 307 · 5 = 6 535.
Прибавляем остаток: 6 535 + 4 = 6 539; при этом 4 < 5.
Пример 6: 89 : 9 даёт 9, остаток 8; 86 : 9 даёт 9, остаток 5; 59 : 9 даёт 6, остаток 5.
Шаг 2. 8 969 : 9 = 996 (ост. 5).
Проверка умножением: 996 · 9 = 8 964.
Прибавляем остаток: 8 964 + 5 = 8 969; при этом 5 < 9.
Пример 7: 52 : 9 даёт 5, остаток 7; 71 : 9 даёт 7, остаток 8; 89 : 9 даёт 9, остаток 8.
5 219 : 9 = 579 (ост. 8).
Проверка умножением: 579 · 9 = 5 211.
Прибавляем остаток: 5 211 + 8 = 5 219; при этом 8 < 9.
Пример 8: 18 : 8 даёт 2, остаток 2; 26 : 8 даёт 3, остаток 2; 20 : 8 даёт 2, остаток 4.
1 860 : 8 = 232 (ост. 4).
Проверка умножением: 232 · 8 = 1 856.
Прибавляем остаток: 1 856 + 4 = 1 860; при этом 4 < 8.
В делении 217 : 400 делимое меньше делителя, поэтому частное равно 0, а остаток равен всему делимому 217.
Проверка: 217 < 400 и 0 · 400 + 217 = 217.
Аналогично 130 : 400 = 0 (ост. 130), потому что 130 < 400.
Во всех десяти случаях остаток неотрицателен и строго меньше делителя.
Вычисли и сделай проверку.
7 410 : 3; 4 850 : 5; 618 : 6; 912 : 3;
37 600 : 4; 81 600 : 6; 424 000 : 4; 86 400 : 8.
1) 7 410 : 3 = 2 470. Проверка: 2 470 · 3 = 7 410.
2) 4 850 : 5 = 970. Проверка: 970 · 5 = 4 850.
3) 618 : 6 = 103. Проверка: 103 · 6 = 618.
4) 912 : 3 = 304. Проверка: 304 · 3 = 912.
5) 37 600 : 4 = 9 400. Проверка: 9 400 · 4 = 37 600.
6) 81 600 : 6 = 13 600. Проверка: 13 600 · 6 = 81 600.
7) 424 000 : 4 = 106 000. Проверка: 106 000 · 4 = 424 000.
8) 86 400 : 8 = 10 800. Проверка: 10 800 · 8 = 86 400.
Ответ: 2 470; 970; 103; 304; 9 400; 13 600; 106 000; 10 800.
Пояснения
Шаг 1. Деление выполняем уголком. Первое неполное делимое определяет старший разряд и число цифр в частном.
В примере 1 последовательно получаем: 7 : 3 даёт 2, остаток 1; 14 : 3 даёт 4, остаток 2; 21 : 3 даёт 7, остаток 0; 0 : 3 даёт 0, остаток 0.
7 410 : 3 = 2 470.
Проверка: 2 470 · 3 = 7 410.
В примере 2 последовательно получаем: 48 : 5 даёт 9, остаток 3; 35 : 5 даёт 7, остаток 0; 0 : 5 даёт 0, остаток 0.
4 850 : 5 = 970.
Проверка: 970 · 5 = 4 850.
В примере 3 последовательно получаем: 6 : 6 даёт 1, остаток 0; 1 : 6 даёт 0, остаток 1; 18 : 6 даёт 3, остаток 0.
618 : 6 = 103.
Проверка: 103 · 6 = 618.
В примере 4 последовательно получаем: 9 : 3 даёт 3, остаток 0; 1 : 3 даёт 0, остаток 1; 12 : 3 даёт 4, остаток 0.
912 : 3 = 304.
Проверка: 304 · 3 = 912.
В примере 5 последовательно получаем: 37 : 4 даёт 9, остаток 1; 16 : 4 даёт 4, остаток 0; 0 : 4 даёт 0, остаток 0; 0 : 4 даёт 0, остаток 0.
Шаг 2. 37 600 : 4 = 9 400.
Проверка: 9 400 · 4 = 37 600.
В примере 6 последовательно получаем: 8 : 6 даёт 1, остаток 2; 21 : 6 даёт 3, остаток 3; 36 : 6 даёт 6, остаток 0; 0 : 6 даёт 0, остаток 0; 0 : 6 даёт 0, остаток 0.
81 600 : 6 = 13 600.
Проверка: 13 600 · 6 = 81 600.
В примере 7 последовательно получаем: 4 : 4 даёт 1, остаток 0; 2 : 4 даёт 0, остаток 2; 24 : 4 даёт 6, остаток 0; 0 : 4 даёт 0, остаток 0; 0 : 4 даёт 0, остаток 0; 0 : 4 даёт 0, остаток 0.
424 000 : 4 = 106 000.
Проверка: 106 000 · 4 = 424 000.
В примере 8 последовательно получаем: 8 : 8 даёт 1, остаток 0; 6 : 8 даёт 0, остаток 6; 64 : 8 даёт 8, остаток 0; 0 : 8 даёт 0, остаток 0; 0 : 8 даёт 0, остаток 0.
86 400 : 8 = 10 800.
Проверка: 10 800 · 8 = 86 400.
Нули внутри частных 2 470, 970, 103, 304, 9 400, 13 600, 106 000 и 10 800 сохраняют разряды.
Каждая проверка вернула своё делимое, значит, все восемь делений выполнены верно.
Вычисли.
200 000 — 160 032 : 8;
900 000 — 54 027 : 9;
200 000 — 521 160 : 4;
400 000 — 81 270 : 3.
1) 200 000 2— 160 032 1: 8 = 200 000 — 20 004 = 179 996.
2) 900 000 2— 54 027 1: 9 = 900 000 — 6 003 = 893 997.
3) 200 000 2— 521 160 1: 4 = 200 000 — 130 290 = 69 710.
4) 400 000 2— 81 270 1: 3 = 400 000 — 27 090 = 372 910.
Ответ: 179 996; 893 997; 69 710; 372 910.
Пояснения
Шаг 1. Во всех четырёх выражениях деление выполняем первым, а вычитание вторым.
В примере 1 первое неполное делимое равно 16; цифры частного находим по разрядам слева направо.
Первое действие: 160 032 : 8 = 20 004.
Второе действие: 200 000 — 20 004 = 179 996.
Проверяем вычитание: 179 996 + 20 004 = 200 000.
В примере 2 первое неполное делимое равно 54; цифры частного находим по разрядам слева направо.
Первое действие: 54 027 : 9 = 6 003.
Второе действие: 900 000 — 6 003 = 893 997.
Проверяем вычитание: 893 997 + 6 003 = 900 000.
В примере 3 первое неполное делимое равно 5; цифры частного находим по разрядам слева направо.
При делении 160 032 на 8 получаем 20 004. В частном 20 004 два нуля между разрядами: после 16 десятков тысяч следующие неполные делимые 0 и 0 меньше 8, поэтому в частном записываем нули. Завершаем делением 32 : 8 = 4.
В делении 54 027 : 9 после 54 : 9 = 6 два следующих неполных делимых меньше 9. Записываем два нуля, затем 27 : 9 = 3. Получаем 6 003.
После деления выполняем вычитание. В записях 200 000 — 20 004 и 900 000 — 6 003 нули выравниваем по разрядам, а заимствования отмечаем над соответствующими цифрами.
Шаг 2. Первое действие: 521 160 : 4 = 130 290.
Второе действие: 200 000 — 130 290 = 69 710.
Проверяем вычитание: 69 710 + 130 290 = 200 000.
В примере 4 первое неполное делимое равно 8; цифры частного находим по разрядам слева направо.
Первое действие: 81 270 : 3 = 27 090.
Второе действие: 400 000 — 27 090 = 372 910.
Проверяем вычитание: 372 910 + 27 090 = 400 000.
Во втором частном 6 003, в третьем 130 290 и в четвёртом 27 090 нули нельзя пропускать.
При вычитании через нули точки заимствования стоят над теми разрядами, из которых брали единицу.
Синие номера над знаками показывают один и тот же порядок: сначала деление, затем вычитание.
Все четыре результата проверены сложением разности и вычитаемого.
При делении 521 160 на 4 цифра 0 в частном появляется после деления 1 десятка: он меньше 4, поэтому записываем 0 десятков и сносим 6 единиц. Так получаем частное 130 290.
При делении 81 270 на 3 последовательно получаем 2 десятка тысяч, 7 тысяч, 0 сотен, 9 десятков и 0 единиц. Частное равно 27 090; оба нуля сохраняют места отсутствующих разрядов.
Полные цепочки последних выражений: 200 000 — 521 160 : 4 = 200 000 — 130 290 = 69 710; 400 000 — 81 270 : 3 = 400 000 — 27 090 = 372 910.
Объясни, почему неравенства верны.
170 · 5 + 8 · 5 > 169 · 5 + 6 · 5;
6 102 · (81 : 81) > 6 102 · (81 — 81);
676 : 4 < 676 : 2;
359 · 4 > 359 · 3.
1) 170 · 5 + 8 · 5 = (170 + 8) · 5 = 178 · 5 = 890.
169 · 5 + 6 · 5 = (169 + 6) · 5 = 175 · 5 = 875.
890 > 875.
2) 6 102 · (81 : 81) = 6 102 · 1 = 6 102.
6 102 · (81 — 81) = 6 102 · 0 = 0.
6 102 > 0.
3) 676 : 4 = 169, а 676 : 2 = 338, поэтому 169 < 338.
4) 359 · 4 = 1 436, а 359 · 3 = 1 077, поэтому 1 436 > 1 077.
Пояснения
Шаг 1. В первом неравенстве выносим общий множитель 5 в каждой части.
Слева получаем (170 + 8) · 5 = 178 · 5, справа — (169 + 6) · 5 = 175 · 5.
Одинаковый положительный множитель 5 сохраняет порядок чисел: так как 178 > 175, левая часть больше.
Числовая проверка даёт 890 > 875.
Во втором неравенстве сначала выполняем действия в скобках.
Частное 81 : 81 равно 1, поэтому левая часть равна 6 102 · 1 = 6 102.
Шаг 2. Разность 81 — 81 равна 0, поэтому правая часть равна 6 102 · 0 = 0.
Любое положительное число больше нуля: 6 102 > 0.
В третьем неравенстве делимые одинаковы. При делении одного положительного числа на больший делитель частное получается меньше.
Число 4 больше 2, значит, 676 : 4 меньше, чем 676 : 2.
Проверяем вычислением: 676 : 4 = 169, а 676 : 2 = 338; действительно, 169 < 338.
В четвёртом неравенстве первые множители одинаковы и положительны.
Шаг 3. Второй множитель 4 больше 3, поэтому произведение 359 · 4 больше произведения 359 · 3.
Проверяем: 359 · 4 = 1 436, 359 · 3 = 1 077 и 1 436 > 1 077.
Во всех четырёх случаях знак неравенства подтверждён и свойствами действий, и вычислением.
Каждое сравнение записано отдельно, поэтому причины верности не смешиваются.
Первую пару можно сравнить и без вычисления произведений: количество одинаковых пятёрок слева равно 178, справа — 175.
Шаг 4. Во второй паре достаточно сравнить множители 1 и 0 при одинаковом положительном числе 6 102.
В третьей паре увеличение делителя от 2 до 4 уменьшает частное в два раза: 338 : 2 = 169.
В четвёртой паре произведение с множителем 4 содержит на одну группу по 359 больше, чем произведение с множителем 3.
Разность последних произведений равна 1 436 — 1 077 = 359, что соответствует одной дополнительной группе.
Знаки > и < во всех строках направлены от большего значения к меньшему.
Реши ребус.
Первое решение: 3 542 : 7 = 506.
Второе решение: 3 549 : 7 = 507.
Ответ: пропуски можно заполнить двумя способами.
Пояснения
Шаг 1.
В частном первая цифра равна 5, а первое промежуточное произведение заканчивается цифрой 5.
Подходит делитель 7, потому что 5 · 7 = 35 и после вычитания первого произведения остаток равен 0.
Следующая открытая цифра делимого равна 4. Так как 4 < 7, в разряде десятков частного записываем 0.
После сноса последней цифры второе неполное делимое должно находиться между 40 и 49.
В этом промежутке без остатка на 7 делятся два числа: 42 и 49.
Если второе неполное делимое равно 42, последняя цифра делимого равна 2, а последняя цифра частного равна 6.
Получаем первое полное деление: 3 542 : 7 = 506.
Проверка первого решения: 506 · 7 = 3 542.
Если второе неполное делимое равно 49, последняя цифра делимого равна 9, а последняя цифра частного равна 7.
Получаем второе полное деление: 3 549 : 7 = 507.
Проверка второго решения: 507 · 7 = 3 549.
В обоих случаях остаток после последнего вычитания равен 0.
Итак, ребус имеет два допустимых заполнения: 3 542 : 7 = 506 и 3 549 : 7 = 507.
Ноль в середине частного необходим: после деления 35 сотен следующая цифра 4 меньше делителя 7.
Если ноль не записать, цифры 6 или 7 переместятся в разряд десятков, и произведение перестанет совпадать с делимым.
Для варианта 3 542 сначала делим 35 на 7, затем 4 на 7 даёт 0 десятков, после сноса 2 получаем 42 : 7 = 6.
Для варианта 3 549 начало деления такое же, но последнее неполное делимое равно 49 и даёт цифру 7.
Обе заполненные записи соответствуют всем открытым цифрам и нулевому остатку на рисунке.
Два варианта деления отличаются только последней цифрой делимого и частного:
3 542 : 7 = 506; 506 · 7 = 3 542.
3 549 : 7 = 507; 507 · 7 = 3 549.
В обоих вариантах первое неполное делимое равно 35 и даёт цифру 5. Следующая цифра 4 меньше 7, поэтому в частном обязательно пишется 0. После сноса последней цифры получаем 42 или 49, откуда последние цифры частного равны 6 или 7. Остаток в обоих случаях равен нулю.