Реши только те примеры, в которых в частном получается трёхзначное число.
1) 485 : 5; 2) 952 : 8; 3) 4 015 : 5; 4) 8 118 : 3;
5) 31 440 : 4; 6) 13 140 : 6; 7) 7 224 : 8; 8) 8 820 : 9.
Выбираем примеры:
1) 485 : 5 — в частном 2 цифры;
2) 952 : 8 — в частном 3 цифры;
3) 4 015 : 5 — в частном 3 цифры;
4) 8 118 : 3 — в частном 4 цифры;
5) 31 440 : 4 — в частном 4 цифры;
6) 13 140 : 6 — в частном 4 цифры;
7) 7 224 : 8 — в частном 3 цифры;
8) 8 820 : 9 — в частном 3 цифры.
Выполняем выбранные деления:
952 : 8 = 119;
4 015 : 5 = 803;
7 224 : 8 = 903;
8 820 : 9 = 980.
Ответ: 2) 119; 3) 803; 7) 903; 8) 980.
Пояснения
Шаг 1. Количество цифр в частном определяем до полного вычисления. Для этого находим первое неполное делимое и смотрим, в каком разряде оно находится.
В примере 485 : 5 первая цифра 4 меньше делителя. Берём 48 десятков. Частное начинается с десятков и будет двузначным, поэтому пример 1 не выбираем.
В примере 952 : 8 первая цифра 9 уже делится на 8. Первое неполное делимое равно 9 сотням, значит, частное начинается с сотен и содержит три цифры.
В примере 4 015 : 5 цифра 4 меньше 5. Первое неполное делимое равно 40 сотням, поэтому частное будет трёхзначным.
Для 8 118 : 3 первым неполным делимым служат 8 тысяч. Частное начинается с тысяч и получается четырёхзначным, поэтому пример 4 пропускаем.
В делении 31 440 : 4 первое неполное делимое равно 31 тысяче. Результат начинается с тысяч и содержит четыре цифры, поэтому пример 5 не решаем.
Для 13 140 : 6 берём 13 тысяч. Частное также начинается с тысяч и будет четырёхзначным, поэтому пример 6 не подходит.
В примере 7 224 : 8 первая цифра 7 меньше 8, поэтому берём 72 сотни. Частное начинается с сотен и является трёхзначным.
В делении 8 820 : 9 первая цифра 8 меньше 9. Первое неполное делимое равно 88 сотням, следовательно, частное содержит три цифры.
После предварительного отбора выполняем только примеры 2, 3, 7 и 8.
В 952 : 8 делим 9 сотен на 8 и получаем 1 сотню. Остаток 1 сотня вместе со снесённой цифрой 5 образует 15 десятков.
15 : 8 = 1, остаётся 7. Сносим 2 единицы и получаем 72; 72 : 8 = 9. Частное равно 119.
952 : 8 = 119.
Проверяем первый результат: 119 · 8 = 952.
В 4 015 : 5 делим 40 сотен на 5 и получаем 8 сотен. Затем сносим цифру 1.
1 меньше 5, поэтому в разряде десятков частного обязательно записываем 0. После сноса 5 получаем 15 единиц и делим их на 5.
15 : 5 = 3, поэтому частное равно 803. Ноль сохраняет правильное положение цифры 3.
4 015 : 5 = 803.
Проверка: 803 · 5 = 4 015.
В 7 224 : 8 первое неполное делимое 72 сотни. Получаем 9 сотен без остатка.
Сносим 2 десятка. Так как 2 меньше 8, в частном записываем 0 десятков. Сносим последнюю 4 и получаем 24.
24 : 8 = 3. Результат деления равен 903.
7 224 : 8 = 903.
Проверяем: 903 · 8 = 7 224.
В 8 820 : 9 первым неполным делимым являются 88 сотен. 88 : 9 = 9, потому что 9 · 9 = 81, остаток равен 7.
Сносим 2 десятка и получаем 72. Делим 72 на 9, записываем 8 десятков и получаем остаток 0.
Сносим последнюю цифру 0. В разряде единиц частного пишем 0, поэтому результат равен 980.
8 820 : 9 = 980.
Проверка: 980 · 9 = 8 820.
Все четыре найденных частных содержат ровно три цифры. Остальные четыре примера были исключены по разряду первого неполного делимого.
Найди пропущенное число.
1) □ : 6 = 2 870 (ост. 5);
2) □ : 3 = 8 501 (ост. 2);
3) □ : 4 = 6 078 (ост. 3);
4) □ : 5 = 4 870 (ост. 4).
1) 2 870 · 6 + 5 = 17 220 + 5 = 17 225;
2) 8 501 · 3 + 2 = 25 503 + 2 = 25 505;
3) 6 078 · 4 + 3 = 24 312 + 3 = 24 315;
4) 4 870 · 5 + 4 = 24 350 + 4 = 24 354.
Ответ: 1) 17 225; 2) 25 505; 3) 24 315; 4) 24 354.
Пояснения
Шаг 1. Во всех четырёх равенствах неизвестно делимое. При делении с остатком делимое равно произведению частного и делителя, увеличенному на остаток.
Используем правило: делимое = частное · делитель + остаток. Остаток обязательно должен быть меньше делителя.
В первом равенстве умножаем 2 870 на 6: 2 870 · 6 = 17 220.
2 870 · 6 = 17 220.
Прибавляем остаток: 17 220 + 5 = 17 225.
17 220 + 5 = 17 225.
Проверяем первое равенство: 17 225 : 6 = 2 870 (ост. 5). Остаток 5 меньше 6.
Во втором равенстве вычисляем 8 501 · 3 = 25 503.
8 501 · 3 = 25 503.
К произведению прибавляем остаток 2: 25 503 + 2 = 25 505.
25 503 + 2 = 25 505.
Проверка второго равенства даёт частное 8 501 и остаток 2; 2 меньше делителя 3.
Для третьего равенства умножаем 6 078 на 4 и получаем 24 312.
6 078 · 4 = 24 312.
Прибавляем остаток 3: 24 312 + 3 = 24 315.
Полное сложение 24 312 + 3 = 24 315 записываем отдельным столбиком.
Проверяем ограничение на остаток: 3 меньше 4, значит, запись деления корректна.
В четвёртом равенстве находим произведение 4 870 · 5 = 24 350.
4 870 · 5 = 24 350.
Добавляем остаток 4: 24 350 + 4 = 24 354.
24 350 + 4 = 24 354.
Остаток 4 меньше делителя 5. Четвёртое восстановленное делимое подходит.
Итоговые делимые записываем отдельно и в том же порядке: 17 225, 25 505, 24 315, 24 354.
Школьная библиотека получила 32 пачки учебников русского языка, по 8 штук в каждой, и несколько пачек учебников математики, по 10 штук в каждой. Всего было получено 506 учебников русского языка и математики. Сколько пачек учебников математики получила библиотека?
1) 32 · 8 = 256 (уч.) — учебников русского языка;
2) 506 — 256 = 250 (уч.) — учебников математики;
3) 250 : 10 = 25 (п.) — пачек учебников математики.
Ответ: библиотека получила 25 пачек учебников математики.
Пояснения
Шаг 1. Составляем условие в таблице. Для русского языка известны число пачек и количество книг в пачке, для математики требуется найти число пачек.
| Учебники | В 1 пачке | Пачек | Всего |
|---|---|---|---|
| Русский язык | 8 | 32 | 256 |
| Математика | 10 | 25 | 250 |
| Итого | — | — | 506 |
Количество учебников в одной пачке · число пачек = общее количество учебников этого предмета.
Сначала находим число учебников русского языка: в каждой из 32 пачек находится по 8 учебников.
Выполняем умножение 32 · 8 = 256 учебников.
32 · 8 = 256.
Из 506 учебников вычитаем 256 учебников русского языка: 506 — 256 = 250.
506 — 256 = 250.
Полученные 250 книг являются всеми учебниками математики.
В одной пачке по 10 учебников математики. Число пачек находим делением общего количества книг на вместимость одной пачки.
Вычисляем 250 : 10 = 25 пачек.
250 : 10 = 25.
Проверяем количество книг по математике: 25 · 10 = 250 учебников.
Проверяем общее количество: 256 + 250 = 506 учебников.
Можно записать решение одним выражением: (506 — 32 · 8) : 10 = 25.
В выражении сначала выполняется умножение, затем вычитание, после этого деление.
Делить 506 сразу на 10 нельзя, потому что в общее количество входят учебники двух предметов, а в пачках русского языка находится по 8 книг.
Каждая найденная величина имеет своё наименование: 256 и 250 — учебники, 25 — пачки.
Ответ относится только к пачкам учебников математики — 25 пачек.
Проверка всей поставки: 32 · 8 + 25 · 10 = 256 + 250 = 506 учебников.
Два маляра получили вместе за работу 28 500 р. Первый работал 6 дней, второй — 4 дня. Сколько денег должен получить каждый, если плата за один день была одинаковой?
1) 6 + 4 = 10 (дн.) — всего отработали маляры;
2) 28 500 : 10 = 2 850 (р.) — плата за один день;
3) 2 850 · 6 = 17 100 (р.) — заработал первый маляр;
4) 2 850 · 4 = 11 400 (р.) — заработал второй маляр.
Ответ: первый маляр должен получить 17 100 р., второй — 11 400 р.
Пояснения
Шаг 1. Составляем условие в таблице. Плата за один день одинакова, поэтому заработок каждого зависит только от числа отработанных дней.
| Маляр | Дней | За 1 день | Всего |
|---|---|---|---|
| Первый | 6 | 2 850 р. | 17 100 р. |
| Второй | 4 | 2 850 р. | 11 400 р. |
| Вместе | 10 | 2 850 р. | 28 500 р. |
Складываем рабочие дни двух маляров: 6 + 4 = 10 дней.
Эти 10 дней оплачены общей суммой 28 500 р. Одинаковую плату за один день находим делением.
Вычисляем 28 500 : 10 = 2 850 р. за один рабочий день.
28 500 : 10 = 2 850.
Первый маляр работал 6 дней, поэтому его заработок равен 2 850 · 6.
Получаем 2 850 · 6 = 17 100 р.
2 850 · 6 = 17 100.
Второй маляр работал 4 дня. Его заработок равен 2 850 · 4.
Вычисляем 2 850 · 4 = 11 400 р.
2 850 · 4 = 11 400.
Проверяем распределение всей суммы: 17 100 + 11 400 = 28 500 р.
Проверяем одинаковую дневную плату первого маляра: 17 100 : 6 = 2 850 р.
Проверяем дневную плату второго маляра: 11 400 : 4 = 2 850 р.
Обе проверки дали одно и то же число, поэтому условие об одинаковой плате выполнено.
Задачу можно записать двумя выражениями: 28 500 : (6 + 4) · 6 и 28 500 : (6 + 4) · 4.
Первое выражение даёт 17 100 р., второе — 11 400 р.
Отношение заработков равно отношению рабочих дней: 17 100 : 11 400 = 6 : 4.
Первый маляр работал на 2 дня больше и получил на 2 850 · 2 = 5 700 р. больше.
Дополнительная проверка: 17 100 — 11 400 = 5 700 р.
Нельзя делить 28 500 пополам, потому что маляры отработали разное число дней.
Сумму распределяем пропорционально 6 и 4 дням, используя найденную одинаковую плату 2 850 р.
Окончательный ответ содержит две отдельные суммы: 17 100 р. и 11 400 р.
В каких уравнениях неизвестное число равно 100?
1) 100 · x = 4 000 : 10; 2) x · 5 = 125 · 4;
3) 100 000 : x = 480 + 520; 4) x : 100 = 8 025 — 8 000.
1) 100 · x = 400; x = 400 : 100; x = 4.
Проверка: 100 · 4 = 4 000 : 10; 400 = 400.
2) x · 5 = 500; x = 500 : 5; x = 100.
Проверка: 100 · 5 = 125 · 4; 500 = 500.
3) 100 000 : x = 1 000; x = 100 000 : 1 000; x = 100.
Проверка: 100 000 : 100 = 480 + 520; 1 000 = 1 000.
4) x : 100 = 25; x = 25 · 100; x = 2 500.
Проверка: 2 500 : 100 = 8 025 — 8 000; 25 = 25.
Ответ: неизвестное число равно 100 в уравнениях 2 и 3.
Пояснения
Шаг 1. Чтобы выбрать нужные уравнения без догадки, решаем каждое из четырёх и проверяем найденный корень подстановкой.
В первом уравнении сначала вычисляем правую часть: 4 000 : 10 = 400.
Получаем 100 · x = 400. Неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель.
Находим x = 400 : 100 = 4.
Подставляем 4: слева 100 · 4 = 400, справа 4 000 : 10 = 400. Равенство верное, но корень не равен 100.
Во втором уравнении вычисляем произведение справа: 125 · 4 = 500.
После упрощения имеем x · 5 = 500. Делим произведение на известный множитель: x = 500 : 5.
Получаем x = 100. Это уравнение подходит под условие.
Проверяем: 100 · 5 = 500 и 125 · 4 = 500. Левая и правая части совпали.
В третьем уравнении складываем числа справа: 480 + 520 = 1 000.
Получаем 100 000 : x = 1 000. Здесь x является неизвестным делителем.
Неизвестный делитель находим делением делимого на частное: x = 100 000 : 1 000 = 100.
Шаг 2. Третье уравнение также подходит. Проверка: 100 000 : 100 = 1 000, а 480 + 520 = 1 000.
В четвёртом уравнении сначала выполняем вычитание: 8 025 — 8 000 = 25.
Получаем x : 100 = 25. Неизвестное делимое равно произведению частного и делителя.
Находим x = 25 · 100 = 2 500.
Проверка: 2 500 : 100 = 25 и 8 025 — 8 000 = 25. Корень верный, но он не равен 100.
Корни четырёх уравнений по порядку: 4, 100, 100, 2 500.
Требованию соответствуют только второе и третье уравнения.
Умножение и деление связаны обратными действиями: неизвестный множитель находят делением, неизвестный делитель также находят делением, но используют делимое и частное.
В четвёртом равенстве x является делимым, поэтому для его нахождения выполняется умножение, а не деление.
Каждый найденный корень подтверждён отдельной проверкой, поэтому выбор уравнений 2 и 3 обоснован полностью.
Вырази:
1) в килограммах: 8 т, 5 ц 25 кг;
2) в метрах: 12 км, 4 км 070 м, 300 см;
3) в квадратных метрах: 700 дм2, 80 000 см2;
4) в квадратных миллиметрах: 7 см2, 10 см2.
1) 8 т = 8 000 кг; 5 ц 25 кг = 525 кг.
2) 12 км = 12 000 м; 4 км 070 м = 4 070 м; 300 см = 3 м.
3) 700 дм2 = 7 м2; 80 000 см2 = 8 м2.
4) 7 см2 = 700 мм2; 10 см2 = 1 000 мм2.
Пояснения
Шаг 1. Каждый подпункт выполняем отдельно. При переводе обычных единиц длины и массы используем линейные соотношения, а при переводе единиц площади учитываем квадрат обеих сторон.
Для массы используем равенства 1 т = 1 000 кг и 1 ц = 100 кг.
Переводим 8 т в килограммы: 8 · 1 000 = 8 000 кг.
В величине 5 ц 25 кг сначала переводим центнеры: 5 · 100 = 500 кг.
Добавляем оставшиеся 25 кг: 500 + 25 = 525 кг.
Проверяем первый подпункт: 8 000 кг : 1 000 = 8 т; в 525 кг содержится 5 полных центнеров и ещё 25 кг.
Шаг 2. Для длины используем 1 км = 1 000 м и 1 м = 100 см.
В 12 км содержится 12 · 1 000 = 12 000 м.
В записи 4 км 070 м число 070 м означает 70 м. Сначала 4 км = 4 000 м.
Складываем 4 000 м и 70 м: получаем 4 070 м.
Чтобы перевести 300 см в метры, делим на 100: 300 : 100 = 3 м.
Проверяем длины: 12 000 м = 12 км; 4 070 м = 4 км 70 м; 3 м = 300 см.
Шаг 3. Переходим к площади. Так как 1 м = 10 дм, квадратный метр содержит 10 · 10 = 100 дм2.
Поэтому 700 дм2 : 100 = 7 м2.
Так как 1 м = 100 см, один квадратный метр содержит 100 · 100 = 10 000 см2.
Переводим 80 000 см2: 80 000 : 10 000 = 8 м2.
Нельзя делить 700 дм2 только на 10: единица площади получается умножением двух длин, поэтому коэффициент равен 100.
Шаг 4. Для квадратных миллиметров используем 1 см = 10 мм.
Следовательно, 1 см2 = 10 мм · 10 мм = 100 мм2.
Умножаем 7 на 100 и получаем 700 мм2.
Умножаем 10 на 100 и получаем 1 000 мм2.
Проверяем обратным переводом: 700 мм2 : 100 = 7 см2, 1 000 мм2 : 100 = 10 см2.
Шаг 5. В ответе сохраняем четыре самостоятельные группы и не смешиваем килограммы, метры, квадратные метры и квадратные миллиметры.
Итог первого подпункта: 8 000 кг и 525 кг.
Итог второго подпункта: 12 000 м, 4 070 м и 3 м.
Итог третьего подпункта: 7 м2 и 8 м2.
Итог четвёртого подпункта: 700 мм2 и 1 000 мм2.
При переводе площадей множитель относится сразу к двум измерениям: 1 м2 = 100 дм2, 1 м2 = 10 000 см2, 1 см2 = 100 мм2. Поэтому для площади нельзя использовать коэффициент перевода обычной длины.
Расставь порядок действий и вычисли.
1) (40 000 — 3 786) · 4;
2) 40 000 — 3 786 · 4;
3) 8 904 + 7 080 : 6;
4) (8 904 + 7 080) : 6;
5) 0 : 9;
6) 0 · 9.
1) (40 000 1— 3 786) 2· 4 = 36 214 · 4 = 144 856.
2) 40 000 2— 3 786 1· 4 = 40 000 — 15 144 = 24 856.
3) 8 904 2+ 7 080 1: 6 = 8 904 + 1 180 = 10 084.
4) (8 904 1+ 7 080) 2: 6 = 15 984 : 6 = 2 664.
5) 0 : 9 = 0.
6) 0 · 9 = 0.
Ответ: 1) 144 856; 2) 24 856; 3) 10 084; 4) 2 664; 5) 0; 6) 0.
Пояснения
Шаг 1. Определяем порядок действий в каждом выражении.
Сначала выполняем действия в скобках. В выражениях без скобок умножение и деление имеют преимущество перед сложением и вычитанием. Действия одной ступени выполняем слева направо.
Поэтому в первом выражении начинаем с вычитания в скобках, во втором — с умножения, в третьем — с деления, а в четвёртом — со сложения в скобках. Пятое и шестое выражения состоят из одного действия.
Шаг 2. Выполняем действия по порядку и записываем письменные вычисления.
1) (40 000 — 3 786) · 4. Сначала 40 000 — 3 786 = 36 214.
Затем 36 214 · 4 = 144 856.
При умножении идём справа налево: 4 · 4 = 16, переносим 1 десяток; 4 · 1 + 1 = 5; 4 · 2 = 8; 4 · 6 = 24, переносим 2; 4 · 3 + 2 = 14. Получаем 144 856.
2) 40 000 — 3 786 · 4. Сначала 3 786 · 4 = 15 144.
После умножения выполняем вычитание: 40 000 — 15 144 = 24 856.
Первые два выражения содержат одинаковые числа и знаки, но скобки меняют первое действие, поэтому результаты различаются.
3) 8 904 + 7 080 : 6. Сначала делим: 7 080 : 6 = 1 180.
Затем складываем: 8 904 + 1 180 = 10 084.
4) (8 904 + 7 080) : 6. Сначала находим сумму: 8 904 + 7 080 = 15 984.
После этого делим: 15 984 : 6 = 2 664.
Проверка деления: 2 664 · 6 = 15 984, поэтому частное найдено верно.
Полные цепочки вычислений:
(40 000 — 3 786) · 4 = 36 214 · 4 = 144 856;
40 000 — 3 786 · 4 = 40 000 — 15 144 = 24 856;
8 904 + 7 080 : 6 = 8 904 + 1 180 = 10 084;
(8 904 + 7 080) : 6 = 15 984 : 6 = 2 664.
В делении 7 080 : 6 сначала 7 тысяч делим на 6, затем остаток соединяем со следующим разрядом. При переходе к разряду единиц получаем 0, поэтому последняя цифра частного 1 180 сохраняется. В делении 15 984 : 6 каждое следующее неполное делимое образуем только после вычитания предыдущего произведения.
В вычитаниях числа записаны разряд под разрядом. Если в уменьшаемом не хватает единиц нужного разряда, занимаем одну единицу старшего разряда и отмечаем заимствование над соответствующей цифрой.
5) 0 : 9 = 0, потому что 0 · 9 = 0. 6) 0 · 9 = 0, потому что произведение с нулевым множителем равно нулю. Для этих двух простых вычислений запись столбиком не требуется.
Ответы по порядку: 144 856; 24 856; 10 084; 2 664; 0; 0.
Начерти такие фигуры. Большой треугольник составлен из частей, на которые разделён большой квадрат. Раскрась одним цветом одинаковые фигуры на обоих рисунках. Сравни площади большого треугольника и большого квадрата.
Обе большие фигуры составлены из одних и тех же восьми частей. При перестановке частей их общая площадь не меняется.
Ответ: площади большого квадрата и большого треугольника равны; каждая площадь равна 9 см2.
Пояснения
Шаг 1. Сначала воспроизводим большой квадрат и все линии его разбиения. На рисунке получается восемь отдельных частей.
Затем чертим большой треугольник с тем же набором восьми частей, но расположенных в другом порядке.
Эту пару отмечаем одним цветом. Цвет служит только для сопоставления и не влияет на площадь.
Так же последовательно сопоставляем вторую, третью и все остальные части.
В каждой большой фигуре использованы все восемь частей. Лишних частей и промежутков внутри фигур нет.
Площадь составной фигуры равна сумме площадей её неперекрывающихся частей.
Для квадрата эта сумма имеет вид S1 + S2 + … + S8.
Для треугольника складываются площади тех же частей: S1 + S2 + … + S8.
Шаг 2. Порядок расположения слагаемых не меняет сумму, поэтому перестановка частей не меняет общую площадь.
Следовательно, площадь большого квадрата равна площади большого треугольника.
На клетчатой бумаге сторона большого квадрата равна 3 см.
Площадь квадрата находим по формуле: 3 · 3 = 9 см2.
Треугольник составлен без наложений из частей этого квадрата, значит, его площадь также равна 9 см2.
Шаг 3. Равенство площадей подтверждается не внешним видом фигур, а совпадением полного набора частей.
Большой квадрат и большой треугольник имеют разные формы, но равные площади.
Цветовая схема показывает каждую соответствующую пару и помогает проверить, что ни одна часть не потеряна.
Окончательный вывод: площади равны, по 9 см2 каждая.
Самолёт пролетает 15 км за одну минуту, это в 3 раза больше, чем вертолёт. Узнай, на сколько больше километров пролетает самолёт, чем вертолёт, за 1 мин.
1) 15 : 3 = 5 (км) — пролетает вертолёт за 1 мин;
2) 15 — 5 = 10 (км) — на столько больше пролетает самолёт.
Ответ: самолёт за 1 мин пролетает на 10 км больше, чем вертолёт.
Пояснения
Шаг 1. Составляем краткую схему: расстояние самолёта за минуту равно 15 км и состоит из трёх одинаковых частей.
Одна такая часть показывает расстояние, которое за минуту пролетает вертолёт.
Фраза «это в 3 раза больше» означает, что 15 км в три раза больше расстояния вертолёта.
Чтобы найти меньшую величину, большую величину делим на 3.
Вычисляем 15 : 3 = 5 км. Столько пролетает вертолёт за одну минуту.
Проверяем отношение: 5 · 3 = 15 км. Расстояние самолёта действительно в три раза больше.
Теперь известны обе сравниваемые величины: самолёт — 15 км, вертолёт — 5 км за минуту.
Вопрос «на сколько больше» требует найти разность большей и меньшей величин.
Вычитаем: 15 — 5 = 10 км.
Проверяем разность сложением: 5 + 10 = 15 км.
Шаг 2. На схеме лишние две части по 5 км вместе составляют 10 км.
Можно записать решение одним выражением: 15 — 15 : 3 = 10 км.
Не следует отвечать 5 км: это расстояние вертолёта, а вопрос просит найти разницу расстояний.
Не следует умножать 15 на 3: 15 км уже является большей величиной.
Обе величины относятся к одному и тому же времени — одной минуте, поэтому их можно непосредственно сравнить.
Ответ формулируем полностью: самолёт за минуту пролетает на 10 км больше вертолёта.