Вычисли, выполняя подробную или краткую запись.
4 581 : 9; 1 824 : 3; 29 650 : 5; 36 800 : 8.
4 581 : 9 = 509;
1 824 : 3 = 608;
29 650 : 5 = 5 930;
36 800 : 8 = 4 600.
Пояснения
Шаг 1. Во всех четырёх примерах сначала выделяем первое неполное делимое и по его разряду заранее определяем количество цифр в частном.
Каждый ноль внутри или в конце частного сохраняем: он показывает, что в соответствующем разряде получилось 0 единиц.
Для действия 4 581 : 9 = 509 первое неполное делимое равно 45. По его месту определяем, что в частном будет 3 цифры.
В неполном делимом 45 число 9 содержится 5 раз. В разряде сотен частного записываем цифру 5: 5 · 9 = 45.
Вычитаем 45 — 45 = 0. Остаток 0 меньше делителя 9, значит, цифра частного выбрана правильно.
Сносим следующую цифру исходного числа и образуем новое неполное делимое 8. Продолжаем деление в следующем разряде.
Неполное делимое 8 меньше 9, поэтому в разряде десятков частного обязательно записываем 0. Пропуск нуля изменил бы разрядность ответа.
Вычитаем 8 — 0 = 8. Остаток 8 меньше делителя 9, значит, цифра частного выбрана правильно.
Сносим следующую цифру исходного числа и образуем новое неполное делимое 81. Продолжаем деление в следующем разряде.
В неполном делимом 81 число 9 содержится 9 раз. В разряде единиц частного записываем цифру 9: 9 · 9 = 81.
Вычитаем 81 — 81 = 0. Остаток 0 меньше делителя 9, значит, цифра частного выбрана правильно.
4 581 : 9 = 509.
Проверяем умножением: 509 · 9 = 4 581. Получено исходное делимое.
Для действия 1 824 : 3 = 608 первое неполное делимое равно 18. По его месту определяем, что в частном будет 3 цифры.
В неполном делимом 18 число 3 содержится 6 раз. В разряде сотен частного записываем цифру 6: 6 · 3 = 18.
Вычитаем 18 — 18 = 0. Остаток 0 меньше делителя 3, значит, цифра частного выбрана правильно.
Сносим следующую цифру исходного числа и образуем новое неполное делимое 2. Продолжаем деление в следующем разряде.
Неполное делимое 2 меньше 3, поэтому в разряде десятков частного обязательно записываем 0. Пропуск нуля изменил бы разрядность ответа.
Вычитаем 2 — 0 = 2. Остаток 2 меньше делителя 3, значит, цифра частного выбрана правильно.
Сносим следующую цифру исходного числа и образуем новое неполное делимое 24. Продолжаем деление в следующем разряде.
В неполном делимом 24 число 3 содержится 8 раз. В разряде единиц частного записываем цифру 8: 8 · 3 = 24.
Вычитаем 24 — 24 = 0. Остаток 0 меньше делителя 3, значит, цифра частного выбрана правильно.
1 824 : 3 = 608.
Проверяем умножением: 608 · 3 = 1 824. Получено исходное делимое.
Для действия 29 650 : 5 = 5 930 первое неполное делимое равно 29. По его месту определяем, что в частном будет 4 цифры.
В неполном делимом 29 число 5 содержится 5 раз. В разряде тысяч частного записываем цифру 5: 5 · 5 = 25.
Вычитаем 29 — 25 = 4. Остаток 4 меньше делителя 5, значит, цифра частного выбрана правильно.
Сносим следующую цифру исходного числа и образуем новое неполное делимое 46. Продолжаем деление в следующем разряде.
В неполном делимом 46 число 5 содержится 9 раз. В разряде сотен частного записываем цифру 9: 9 · 5 = 45.
Вычитаем 46 — 45 = 1. Остаток 1 меньше делителя 5, значит, цифра частного выбрана правильно.
Сносим следующую цифру исходного числа и образуем новое неполное делимое 15. Продолжаем деление в следующем разряде.
В неполном делимом 15 число 5 содержится 3 раз. В разряде десятков частного записываем цифру 3: 3 · 5 = 15.
Вычитаем 15 — 15 = 0. Остаток 0 меньше делителя 5, значит, цифра частного выбрана правильно.
Сносим следующую цифру исходного числа и образуем новое неполное делимое 0. Продолжаем деление в следующем разряде.
Неполное делимое 0 меньше 5, поэтому в разряде единиц частного обязательно записываем 0. Пропуск нуля изменил бы разрядность ответа.
Вычитаем 0 — 0 = 0. Остаток 0 меньше делителя 5, значит, цифра частного выбрана правильно.
29 650 : 5 = 5 930.
Проверяем умножением: 5 930 · 5 = 29 650. Получено исходное делимое.
Для действия 36 800 : 8 = 4 600 первое неполное делимое равно 36. По его месту определяем, что в частном будет 4 цифры.
В неполном делимом 36 число 8 содержится 4 раз. В разряде тысяч частного записываем цифру 4: 4 · 8 = 32.
Вычитаем 36 — 32 = 4. Остаток 4 меньше делителя 8, значит, цифра частного выбрана правильно.
Сносим следующую цифру исходного числа и образуем новое неполное делимое 48. Продолжаем деление в следующем разряде.
В неполном делимом 48 число 8 содержится 6 раз. В разряде сотен частного записываем цифру 6: 6 · 8 = 48.
Вычитаем 48 — 48 = 0. Остаток 0 меньше делителя 8, значит, цифра частного выбрана правильно.
Неполное делимое 0 меньше 8, поэтому в разряде десятков частного обязательно записываем 0. Пропуск нуля изменил бы разрядность ответа.
Вычитаем 0 — 0 = 0. Остаток 0 меньше делителя 8, значит, цифра частного выбрана правильно.
Неполное делимое 0 меньше 8, поэтому в разряде единиц частного обязательно записываем 0. Пропуск нуля изменил бы разрядность ответа.
36 800 : 8 = 4 600.
Проверяем умножением: 4 600 · 8 = 36 800. Получено исходное делимое.
Сравниваем ответы по разрядности: 509 и 608 содержат по три цифры, 5 930 и 4 600 — по четыре.
Проверки умножением восстановили каждое делимое, а все последние остатки равны нулю.
Не вычисляя, назови неверные решения. Реши правильно и выполни проверку умножением.
7 380 : 9 = 82;
3 010 : 5 = 62;
56 014 : 7 = 8 002.
7 380 : 9 = 82 — неверно. Правильно: 7 380 : 9 = 820. Проверка: 820 · 9 = 7 380.
3 010 : 5 = 62 — неверно. Правильно: 3 010 : 5 = 602. Проверка: 602 · 5 = 3 010.
56 014 : 7 = 8 002 — верно. Проверка: 8 002 · 7 = 56 014.
Пояснения
Шаг 1. Для 7 380 : 9 первое неполное делимое равно 73 сотням. Значит, частное должно быть трёхзначным, а число 82 содержит только две цифры.
После 73 : 9 = 8 остаётся 1 сотня. Сносим 8 десятков, получаем 18 и записываем 2 десятка.
После вычитания 18 остаток равен 0. Сносим последнюю цифру 0, поэтому в разряде единиц частного пишем 0.
7 380 : 9 = 820.
Проверяем первое исправление умножением: 820 · 9 = 7 380.
820 · 9 = 7 380.
Для 3 010 : 5 первое неполное делимое равно 30 сотням, поэтому в частном также требуется три цифры.
Делим 30 : 5 = 6. Затем сносим 1 десяток; число 1 меньше 5, поэтому в частном обязательно ставим 0 десятков.
Сносим 0 единиц, получаем 10 : 5 = 2. Частное равно 602, а не 62.
3 010 : 5 = 602.
Проверяем: 602 · 5 = 3 010.
602 · 5 = 3 010.
Для 56 014 : 7 первое неполное делимое равно 56 тысячам. Поэтому в частном должно быть четыре цифры.
Делим 56 : 7 = 8. После сноса следующей цифры получаем неполное делимое 0 и сохраняем ноль в разряде сотен.
Сносим 1 десяток, он меньше 7, поэтому в разряде десятков также остаётся 0; после сноса 4 получаем 14 : 7 = 2.
Полное действие 56 014 : 7 = 8 002 подтверждает предложенный ответ.
Выполняем проверку: 8 002 · 7 = 56 014.
Проверочное умножение записываем одним столбиком; нули в множимом сохраняют свои разряды.
8 002 · 7 = 56 014.
Итак, первые два решения неверны из-за пропущенных нулей, а третье решение верно.
Реши задачи и сравни их решения.
1) На оклейку двух комнат пошло 108 м обоев. На одну комнату пошло 4 рулона обоев одинаковой длины, на другую — 5 таких же рулонов. Сколько метров обоев пошло на каждую комнату?
2) На оклейку двух комнат пошло 9 рулонов обоев одинаковой длины. На одну комнату пошло 48 м обоев, на другую — 60 м. Сколько рулонов обоев пошло на каждую комнату?
1)
1) 4 + 5 = 9 (р.) — для двух комнат.
2) 108 : 9 = 12 (м) — длина одного рулона.
3) 12 · 4 = 48 (м) — для первой комнаты.
4) 12 · 5 = 60 (м) — для второй комнаты.
Ответ: 48 м и 60 м.
2)
1) 48 + 60 = 108 (м) — обоев всего.
2) 108 : 9 = 12 (м) — длина одного рулона.
3) 48 : 12 = 4 (р.) — для первой комнаты.
4) 60 : 12 = 5 (р.) — для второй комнаты.
Ответ: 4 рулона и 5 рулонов.
Задачи обратные: во второй задаче искомые величины первой задачи становятся известными, а известные количества рулонов требуется найти.
Пояснения
Шаг 1. Первую задачу записываем отдельно: известны общая длина обоев и число рулонов для каждой комнаты.
| Комната | Число рулонов | Длина 1 рулона | Всего обоев |
|---|---|---|---|
| Первая | 4 | 12 м | 48 м |
| Вторая | 5 | 12 м | 60 м |
| Всего | 9 | 12 м | 108 м |
Складываем число рулонов: 4 + 5 = 9 рулонов использовали для двух комнат.
Все рулоны одинаковой длины, поэтому делим 108 м на 9 и получаем 12 м в одном рулоне.
Шаг 2. Для первой комнаты взяли четыре рулона: 12 · 4 = 48 м.
Для второй комнаты взяли пять рулонов: 12 · 5 = 60 м.
Проверяем общую длину: 48 + 60 = 108 м.
Проверяем одинаковую длину рулона: 48 : 4 = 12 м и 60 : 5 = 12 м.
Шаг 3. Первая задача завершена: на комнаты пошло 48 м и 60 м обоев.
Шаг 4. Вторую задачу оформляем своей таблицей: теперь известны метры для комнат и общее число рулонов.
| Комната | Всего обоев | Длина 1 рулона | Число рулонов |
|---|---|---|---|
| Первая | 48 м | 12 м | 4 |
| Вторая | 60 м | 12 м | 5 |
| Всего | 108 м | 12 м | 9 |
Сначала находим общую длину обоев: 48 + 60 = 108 м.
Шаг 5. Девять одинаковых рулонов вместе имеют длину 108 м, значит, один рулон содержит 108 : 9 = 12 м.
Для первой комнаты использовали 48 : 12 = 4 рулона.
Шаг 6. Для второй комнаты использовали 60 : 12 = 5 рулонов.
Проверяем общее число рулонов: 4 + 5 = 9.
Проверяем длины: 4 · 12 = 48 м и 5 · 12 = 60 м.
Шаг 7. Во второй задаче получили те же числа 4, 5, 48, 60, 108 и 12, но неизвестными стали количества рулонов.
Шаг 8. Связь величин одинакова в обеих задачах: длина одного рулона · число рулонов = общая длина обоев.
Чтобы найти длину одного рулона, общую длину делим на число рулонов; чтобы найти число рулонов, общую длину делим на длину рулона.
Шаг 9. Сравним первые действия: в первой задаче складываются 4 и 5 рулонов, а во второй — 48 и 60 метров. В обоих случаях сначала находится общий итог для двух комнат.
Вторые действия совпадают полностью: 108 : 9 = 12. Это общая промежуточная величина — длина одного рулона.
Шаг 10. Третье и четвёртое действия взаимно обратны. В первой задаче числа 4 и 5 умножаются на 12, а во второй результаты 48 и 60 делятся на 12.
Для первой комнаты связь выглядит так: 12 · 4 = 48, 48 : 12 = 4 и 48 : 4 = 12.
Шаг 11. Для второй комнаты получаем такую же тройку равенств: 12 · 5 = 60, 60 : 12 = 5 и 60 : 5 = 12.
Таким образом, каждая задача проверяет решение другой: найденные в первой задаче метры подставляются во вторую и возвращают исходные количества рулонов.
Шаг 12. Решения подтверждают обратную связь умножения и деления.
Из куска ситца можно сшить 32 детских платья или 16 платьев для взрослых. На каждое детское платье идёт 2 м ситца. Сколько метров ситца идёт на каждое платье для взрослых?
1) 2 · 32 = 64 (м) — ситца в куске.
2) 64 : 16 = 4 (м) — на одно платье для взрослого.
Ответ: 4 м ситца.
Пояснения
Шаг 1. Кусок ситца один и тот же, поэтому общая длина ткани для двух вариантов пошива одинакова.
| Вид платья | Расход на 1 платье | Число платьев | Всего ситца |
|---|---|---|---|
| Детское | 2 м | 32 | 64 м |
| Для взрослого | 4 м | 16 | 64 м |
Известен расход на одно детское платье и количество детских платьев. По этим данным находим длину всего куска.
Умножаем 2 · 32 = 64 м. Столько ситца содержится в куске.
Проверка первого действия: 64 : 32 = 2 м на одно детское платье.
Шаг 2. Из того же куска можно сшить 16 платьев для взрослых.
Чтобы найти расход на одно взрослое платье, общую длину ткани делим на количество таких платьев.
Выполняем 64 : 16 = 4 м.
Проверяем: 4 · 16 = 64 м, то есть шестнадцать платьев расходуют весь кусок.
Шаг 3. На одно взрослое платье требуется в 2 раза больше ткани, чем на детское: 4 : 2 = 2.
Поэтому из одного куска взрослых платьев получается в 2 раза меньше: 32 : 16 = 2.
Эти отношения согласуются: при увеличении расхода на одно изделие в 2 раза число изделий уменьшается в 2 раза.
Общая длина куска остаётся равной 64 м при любом варианте пошива, поэтому найденный расход не изменяет исходное количество ткани.
Шаг 4. Решение одним выражением: 2 · 32 : 16 = 4 м.
В выражении сначала определяется весь кусок, затем его длина делится между шестнадцатью одинаковыми платьями.
Ответ относится к одному платью для взрослого — 4 м ситца.
Вычисли. Для выражений укажи порядок действий.
56 182 : 7; 38 412 : 6;
46 800 : 3 · 2;
13 500 : 5 · 4;
(17 437 — 10 297) : 7;
17 437 — 10 297 : 7.
56 182 : 7 = 8 026;
38 412 : 6 = 6 402;
46 800 1: 3 2· 2 = 31 200;
13 500 1: 5 2· 4 = 10 800;
(17 437 1— 10 297) 2: 7 = 1 020;
17 437 2— 10 297 1: 7 = 15 966.
Пояснения
Шаг 1. Выполняем два самостоятельных деления уголком.
56 182 : 7 = 8 026. Первое неполное делимое — 56 тысяч, поэтому в частном будет четыре цифры. 56 : 7 = 8. Следующее неполное делимое 1 меньше 7, поэтому в разряде сотен частного пишем 0. Сносим 8 и получаем 18: 18 : 7 = 2, остаток 4. Сносим 2: 42 : 7 = 6.
Проверка: 8 026 · 7 = 56 182. Ноль в частном сохраняет разряд сотен.
38 412 : 6 = 6 402. 38 : 6 = 6, остаток 2. После сноса 4 получаем 24: 24 : 6 = 4. Следующее неполное делимое 1 меньше 6, поэтому пишем 0 десятков. После сноса 2 получаем 12 : 6 = 2.
Проверка: 6 402 · 6 = 38 412. Оба деления выполнены без остатка.
В обоих частных внутренний ноль обязателен: он показывает отсутствие единиц соответствующего разряда. Если его пропустить, цифры справа сдвинутся и проверочное умножение не вернёт делимое.
Шаг 2. Вычисляем четыре выражения по указанному порядку действий.
1) 46 800 : 3 · 2. Деление и умножение выполняем слева направо. Сначала 46 800 : 3 = 15 600.
Затем 15 600 · 2 = 31 200.
2) 13 500 : 5 · 4. Сначала 13 500 : 5 = 2 700.
Затем 2 700 · 4 = 10 800.
3) (17 437 — 10 297) : 7. Первым выполняем действие в скобках: 17 437 — 10 297 = 7 140.
После этого 7 140 : 7 = 1 020.
4) 17 437 — 10 297 : 7. Скобок нет, поэтому сначала делим: 10 297 : 7 = 1 471.
Затем вычитаем: 17 437 — 1 471 = 15 966.
Шаг 3. Записываем полные цепочки и сравниваем выражения со скобками.
46 800 : 3 · 2 = 15 600 · 2 = 31 200;
13 500 : 5 · 4 = 2 700 · 4 = 10 800;
(17 437 — 10 297) : 7 = 7 140 : 7 = 1 020;
17 437 — 10 297 : 7 = 17 437 — 1 471 = 15 966.
В пятом выражении скобки требуют сначала найти разность, а в шестом деление выполняется раньше вычитания. Поэтому при одинаковых числах и знаках получаются разные ответы: 1 020 и 15 966.
Проверяем деления умножением: 15 600 · 3 = 46 800; 2 700 · 5 = 13 500; 1 020 · 7 = 7 140; 1 471 · 7 = 10 297.
Итоговые значения: 8 026; 6 402; 31 200; 10 800; 1 020; 15 966.
Найди периметр квадрата со стороной 3 см 2 мм.
3 см 2 мм = 32 мм;
32 · 4 = 128 (мм);
128 мм = 12 см 8 мм.
Ответ: 12 см 8 мм.
Пояснения
Шаг 1. У квадрата четыре равные стороны, поэтому его периметр равен длине стороны, умноженной на 4.
Для удобного вычисления переводим составную длину в миллиметры.
В одном сантиметре 10 мм, значит, 3 см = 30 мм.
Прибавляем ещё 2 мм: 30 + 2 = 32 мм.
Шаг 2. Умножаем длину одной стороны на число сторон: 32 · 4 = 128 мм.
Выделяем сантиметры: в 128 мм содержится 12 полных сантиметров и ещё 8 мм.
Поэтому 128 мм = 12 см 8 мм.
Чертёж показывает квадрат, равные стороны и используемую формулу периметра.
Проверяем сложением сторон: 32 + 32 + 32 + 32 = 128 мм.
Проверяем обратным действием: 128 : 4 = 32 мм, то есть 3 см 2 мм.
Шаг 3. Единицу ответа можно оставить в миллиметрах, но составная запись 12 см 8 мм удобнее для чтения.
Итоговый периметр квадрата равен 12 см 8 мм.
Петров на 8 лет младше, чем Светлов, но на 3 года старше, чем Денисов. Кто моложе всех? На сколько лет Светлов старше Денисова?
8 + 3 = 11 (л.) — Светлов старше Денисова.
Ответ: моложе всех Денисов; Светлов старше Денисова на 11 лет.
Пояснения
Шаг 1. Петров на 8 лет младше Светлова, значит, Светлов старше Петрова на 8 лет.
Петров на 3 года старше Денисова, поэтому Денисов младше Петрова на 3 года.
Получается последовательность от младшего к старшему: Денисов, Петров, Светлов.
Следовательно, моложе всех Денисов.
Чтобы сравнить Светлова и Денисова, соединяем две разницы возраста: от Денисова до Петрова 3 года, от Петрова до Светлова 8 лет.
Складываем 3 + 8 = 11 лет.
На схеме имена расположены на одной линии возраста слева направо, а промежутки 3 года и 8 лет показаны отдельно.
Проверяем общей разницей: если возраст Денисова обозначить буквой d, то Петрову d + 3 года, а Светлову d + 3 + 8 = d + 11 лет.
Разность возрастов Светлова и Денисова равна (d + 11) — d = 11 лет.
Конкретный возраст мальчиков знать не требуется: для ответа достаточно двух данных о разнице.
Первый ответ относится к порядку возрастов, второй — к числовой разнице между самым старшим и самым младшим.
Шаг 2. Итог: Денисов младше всех, а Светлов старше его на 11 лет.
Найди длину стороны квадрата, периметр которого равен 432 мм.
432 : 4 = 108 (мм).
Ответ: 108 мм.
Пояснения
Шаг 1. Связываем периметр квадрата с длиной его стороны.
Квадрат имеет четыре равные стороны. Его периметр равен сумме длин всех сторон: P = a + a + a + a. Сложение одинаковых слагаемых заменяем умножением и получаем формулу P = a · 4.
По условию P = 432 мм, а длина стороны a неизвестна. Поэтому 432 = a · 4.
Шаг 2. Находим длину одной стороны.
Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делим на известный множитель: a = 432 : 4 = 108 мм. Значит, каждая из четырёх сторон квадрата имеет длину 108 мм.
Делим именно на 4, потому что периметр складывается из четырёх одинаковых длин. Каждая из этих равных частей и есть одна сторона квадрата.
Единицы переводить перед вычислением не требуется, потому что периметр дан в миллиметрах. При необходимости 108 мм можно записать как 10 см 8 мм.
Шаг 3. Записываем решение и проверяем найденную сторону.
432 : 4 = 108 (мм) — длина стороны квадрата.
Проверка умножением: 108 · 4 = 432 мм. Проверка сложением: 108 + 108 + 108 + 108 = 432 мм. Обе проверки дают периметр из условия.
Восстанови пропущенные цифры в делении с остатком.
67 958 : 7 = 9 708 (ост. 2).
Проверка: 9 708 · 7 + 2 = 67 958.
Пояснения
Шаг 1. Делитель равен 7, а в частном предусмотрено четыре разряда. Первое неполное делимое относится к тысячам и состоит из двух первых цифр.
В первой промежуточной строке вычитается 63 и остаётся 4. Значит, первое неполное делимое равно 63 + 4 = 67.
В пропуске второй цифры делимого записываем 7, а первая цифра частного равна 67 : 7 = 9.
Сносим следующую цифру 9 и получаем 49.
Число 49 делится на 7 без остатка: 49 : 7 = 7. В частном записываем 7 сотен.
После вычитания 49 — 49 = 0 сносим цифру 5. Число 5 меньше делителя 7.
В разряде десятков частного обязательно ставим 0 и сносим последнюю цифру 8.
Получаем неполное делимое 58. Подбираем цифру 8, потому что 8 · 7 = 56, а 9 · 7 = 63 уже больше 58.
Вычитаем 58 — 56 = 2. Остаток 2 меньше делителя 7.
Полное действие 67 958 : 7 = 9 708 (ост. 2).
Проверяем по правилу деления с остатком: 9 708 · 7 = 67 956.
Прибавляем остаток: 67 956 + 2 = 67 958. Получено исходное делимое.
Частное содержит ноль десятков; без него получилось бы число 978, которое не соответствует разрядам ребуса.
Итоговая восстановленная запись: 67 958 : 7 = 9 708 (ост. 2).
Ноль в частном занимает разряд десятков: после деления 58 сотен следующее неполное делимое меньше 7, поэтому в частном обязательно записывается 0 перед последней цифрой 8.