Реши с устным объяснением.
768 : 8; 2 367 : 3; 8 334 : 6; 9 268 : 7.
768 : 8 = 96;
2 367 : 3 = 789;
8 334 : 6 = 1 389;
9 268 : 7 = 1 324.
Пояснения
Шаг 1. Выполняем полное действие 768 : 8 = 96.
Делимое равно 768 делитель равен 8; деление начинаем с высшего разряда.
Семь сотен меньше 8, поэтому первое неполное делимое образуем из 76 десятков, а в частном будет две цифры.
В письменной записи каждый результат вычитания располагаем точно под соответствующим неполным делимым.
768 : 8 = 96.
Количество цифр в частном определяем по разряду первого неполного делимого.
На этапе 1 работаем с разрядом «десятки». Неполное делимое равно 76. Делим 76 на 8 и выбираем цифру 9, потому что 9 полных групп помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 9 в частном на месте разряда «десятки». Умножаем 9 · 8 = 72, затем вычитаем 76 — 72 = 4. Остаток 4 меньше 8, поэтому цифра частного выбрана верно.
На этапе 2 работаем с разрядом «единицы». Неполное делимое равно 48. Делим 48 на 8 и выбираем цифру 6, потому что 6 полных групп помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 6 в частном на месте разряда «единицы». Умножаем 6 · 8 = 48, затем вычитаем 48 — 48 = 0. Остаток 0 меньше 8, поэтому цифра частного выбрана верно.
После последнего вычитания остаток равен нулю, значит, деление выполнено нацело.
Читаем полученное частное: 96.
Проверяем обратным действием: 96 · 8 = 768.
Проверка вернула исходное делимое, поэтому ошибок в выборе цифр частного нет.
На каждом этапе остаток был меньше делителя и только после проверки к нему присоединялась следующая цифра делимого.
Выполняем полное действие 2 367 : 3 = 789.
Делимое равно 2 367 делитель равен 3; деление начинаем с высшего разряда.
Две тысячи меньше 3, поэтому объединяем их с тремя сотнями и получаем первое неполное делимое 23 сотни; в частном будет три цифры.
Шаг 2. В письменной записи каждый результат вычитания располагаем точно под соответствующим неполным делимым.
2 367 : 3 = 789.
Количество цифр в частном определяем по разряду первого неполного делимого.
На этапе 1 работаем с разрядом «сотни». Неполное делимое равно 23. Делим 23 на 3 и выбираем цифру 7, потому что 7 полных групп помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 7 в частном на месте разряда «сотни». Умножаем 7 · 3 = 21, затем вычитаем 23 — 21 = 2. Остаток 2 меньше 3, поэтому цифра частного выбрана верно.
На этапе 2 работаем с разрядом «десятки». Неполное делимое равно 26. Делим 26 на 3 и выбираем цифру 8, потому что 8 полных групп помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 8 в частном на месте разряда «десятки». Умножаем 8 · 3 = 24, затем вычитаем 26 — 24 = 2. Остаток 2 меньше 3, поэтому цифра частного выбрана верно.
На этапе 3 работаем с разрядом «единицы». Неполное делимое равно 27. Делим 27 на 3 и выбираем цифру 9, потому что 9 полных групп помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 9 в частном на месте разряда «единицы». Умножаем 9 · 3 = 27, затем вычитаем 27 — 27 = 0. Остаток 0 меньше 3, поэтому цифра частного выбрана верно.
После последнего вычитания остаток равен нулю, значит, деление выполнено нацело.
Читаем полученное частное: 789.
Проверяем обратным действием: 789 · 3 = 2 367.
Проверка вернула исходное делимое, поэтому ошибок в выборе цифр частного нет.
Выполняем полное действие 8 334 : 6 = 1 389.
Делимое равно 8 334 делитель равен 6; деление начинаем с высшего разряда.
Восемь тысяч можно разделить на 6, поэтому первое неполное делимое равно 8 тысячам и частное будет четырёхзначным.
Шаг 3. В письменной записи каждый результат вычитания располагаем точно под соответствующим неполным делимым.
8 334 : 6 = 1 389.
Количество цифр в частном определяем по разряду первого неполного делимого.
На этапе 1 работаем с разрядом «тысячи». Неполное делимое равно 8. Делим 8 на 6 и выбираем цифру 1, потому что 1 полная группа помещается, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 1 в частном на месте разряда «тысячи». Умножаем 1 · 6 = 6, затем вычитаем 8 — 6 = 2. Остаток 2 меньше 6, поэтому цифра частного выбрана верно.
На этапе 2 работаем с разрядом «сотни». Неполное делимое равно 23. Делим 23 на 6 и выбираем цифру 3, потому что 3 полные группы помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 3 в частном на месте разряда «сотни». Умножаем 3 · 6 = 18, затем вычитаем 23 — 18 = 5. Остаток 5 меньше 6, поэтому цифра частного выбрана верно.
На этапе 3 работаем с разрядом «десятки». Неполное делимое равно 53. Делим 53 на 6 и выбираем цифру 8, потому что 8 полных групп помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 8 в частном на месте разряда «десятки». Умножаем 8 · 6 = 48, затем вычитаем 53 — 48 = 5. Остаток 5 меньше 6, поэтому цифра частного выбрана верно.
На этапе 4 работаем с разрядом «единицы». Неполное делимое равно 54. Делим 54 на 6 и выбираем цифру 9, потому что 9 полных групп помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 9 в частном на месте разряда «единицы». Умножаем 9 · 6 = 54, затем вычитаем 54 — 54 = 0. Остаток 0 меньше 6, поэтому цифра частного выбрана верно.
После последнего вычитания остаток равен нулю, значит, деление выполнено нацело.
Читаем полученное частное: 1 389.
Проверяем обратным действием: 1 389 · 6 = 8 334.
Проверка вернула исходное делимое, поэтому ошибок в выборе цифр частного нет.
Выполняем полное действие 9 268 : 7 = 1 324.
Делимое равно 9 268 делитель равен 7; деление начинаем с высшего разряда.
Девять тысяч можно разделить на 7, поэтому начинаем с тысяч и ожидаем четыре цифры в частном.
Шаг 4. В письменной записи каждый результат вычитания располагаем точно под соответствующим неполным делимым.
9 268 : 7 = 1 324.
Количество цифр в частном определяем по разряду первого неполного делимого.
На этапе 1 работаем с разрядом «тысячи». Неполное делимое равно 9. Делим 9 на 7 и выбираем цифру 1, потому что 1 полная группа помещается, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 1 в частном на месте разряда «тысячи». Умножаем 1 · 7 = 7, затем вычитаем 9 — 7 = 2. Остаток 2 меньше 7, поэтому цифра частного выбрана верно.
На этапе 2 работаем с разрядом «сотни». Неполное делимое равно 22. Делим 22 на 7 и выбираем цифру 3, потому что 3 полные группы помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 3 в частном на месте разряда «сотни». Умножаем 3 · 7 = 21, затем вычитаем 22 — 21 = 1. Остаток 1 меньше 7, поэтому цифра частного выбрана верно.
На этапе 3 работаем с разрядом «десятки». Неполное делимое равно 16. Делим 16 на 7 и выбираем цифру 2, потому что 2 полные группы помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 2 в частном на месте разряда «десятки». Умножаем 2 · 7 = 14, затем вычитаем 16 — 14 = 2. Остаток 2 меньше 7, поэтому цифра частного выбрана верно.
На этапе 4 работаем с разрядом «единицы». Неполное делимое равно 28. Делим 28 на 7 и выбираем цифру 4, потому что 4 полные группы помещаются, а следующая цифра дала бы слишком большое произведение.
Записываем 4 в частном на месте разряда «единицы». Умножаем 4 · 7 = 28, затем вычитаем 28 — 28 = 0. Остаток 0 меньше 7, поэтому цифра частного выбрана верно.
После последнего вычитания остаток равен нулю, значит, деление выполнено нацело.
Читаем полученное частное: 1 324.
Проверяем обратным действием: 1 324 · 7 = 9 268.
Проверка вернула исходное делимое, поэтому ошибок в выборе цифр частного нет.
Сравним результаты: в первых двух примерах высший разряд делимого оказался меньше делителя, поэтому частные имеют на одну цифру меньше делимых.
В двух последних примерах первая цифра делимого не меньше делителя, поэтому частные сохранили четыре разряда.
Для 768 : 8 сначала 76 десятков разделили на 8, получили 9 десятков и остаток 4 десятка; после сноса 8 единиц получилось 48.
Для 2 367 : 3 промежуточные остатки 2 сотни и 2 десятка образовали неполные делимые 26 десятков и 27 единиц.
Для 8 334 : 6 остатки 2, 5 и 5 последовательно образовали числа 23, 53 и 54 после присоединения очередной цифры.
Для 9 268 : 7 остатки 2, 1 и 2 образовали неполные делимые 22, 16 и 28.
Оценка подтверждает порядок величин: 768 : 8 около 100, 2 367 : 3 около 800, 8 334 : 6 около 1 400, 9 268 : 7 около 1 300.
Точные результаты 96, 789, 1 389 и 1 324 близки к оценочным значениям.
Все четыре проверки умножением выполнены без остатка: 96 · 8 = 768; 789 · 3 = 2 367; 1 389 · 6 = 8 334; 1 324 · 7 = 9 268.
Ответы записываем в том же порядке, что и примеры в условии. Деление каждого числа завершено отдельной проверкой.
Уменьши в 9 раз каждое из чисел.
180; 540; 270; 3 600; 8 100; 7 200.
180 : 9 = 20;
540 : 9 = 60;
270 : 9 = 30;
3 600 : 9 = 400;
8 100 : 9 = 900;
7 200 : 9 = 800.
Пояснения
Шаг 1. Уменьшить число в 9 раз означает разделить его на 9.
В числе 180 содержится 18 десятков. Делим 18 десятков на 9 и получаем 2 десятка, то есть 20.
Проверка: 20 · 9 = 180.
Число 540 содержит 54 десятка. 54 : 9 = 6, значит, получаем 6 десятков, или 60.
Проверка: 60 · 9 = 540.
Число 270 представляем как 27 десятков. 27 : 9 = 3 десятка = 30.
Проверка: 30 · 9 = 270.
Число 3 600 содержит 36 сотен. 36 сотен : 9 = 4 сотни = 400.
Проверяем: 400 · 9 = 3 600.
Шаг 2. В числе 8 100 содержится 81 сотня. 81 : 9 = 9 сотен = 900.
Проверка: 900 · 9 = 8 100.
Число 7 200 равно 72 сотням. 72 : 9 = 8 сотен = 800.
Проверка: 800 · 9 = 7 200.
Во всех примерах использовали табличные случаи деления и сохранили нули соответствующих разрядов.
У первых трёх чисел один ноль обозначает единицы, поэтому после деления результаты выражены целым числом десятков.
У последних трёх чисел два нуля обозначают десятки и единицы, поэтому результаты составляют целое число сотен.
Ни один ноль не отбрасывается случайно: разряд результата подтверждается обратным умножением на 9.
Результаты по порядку: 20, 60, 30, 400, 900, 800.
Вычисли значения выражения 96 : a и заполни таблицу.
| a | 96 | 48 | 32 | 24 | 16 | 12 | 8 | 6 | 4 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 96 : a | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| a | 96 | 48 | 32 | 24 | 16 | 12 | 8 | 6 | 4 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 96 : a | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 | 16 | 24 | 96 |
Пояснения
Шаг 1. В каждой колонке вместо буквы a подставляем число из верхней строки.
При a = 96 получаем 96 : 96 = 1, потому что ненулевое число, разделённое само на себя, равно 1.
При a = 48 получаем 96 : 48 = 2. Проверка: 48 · 2 = 96.
При a = 32 получаем 96 : 32 = 3. Проверка: 32 · 3 = 96.
При a = 24 получаем 96 : 24 = 4. Проверка: 24 · 4 = 96.
При a = 16 частное равно 6, потому что 16 · 6 = 96.
При a = 12 получаем 96 : 12 = 8.
При a = 8 получаем 96 : 8 = 12. Эти две колонки используют взаимно связанные множители 8 и 12.
При a = 6 получаем 96 : 6 = 16.
Шаг 2. При a = 4 получаем 96 : 4 = 24.
При a = 1 результат равен исходному числу: 96 : 1 = 96.
Все делители являются делителями числа 96, поэтому в таблице нет остатков.
Чем меньше выбранный делитель a, тем больше значение частного 96 : a.
Пары 2 и 48, 3 и 32, 4 и 24, 6 и 16, 8 и 12 при умножении дают 96.
Если читать верхнюю строку слева направо, делители уменьшаются, а значения нижней строки возрастают.
Соседние пары удобно проверять перестановкой множителей: 12 · 8 = 8 · 12 = 96 и 16 · 6 = 6 · 16 = 96.
Крайние случаи также согласуются с правилами деления: 96 : 96 = 1 и 96 : 1 = 96.
Нижняя строка по порядку: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 96.
Каждая пара строк образует произведение 96: значение a умножаем на найденное частное. Например, 32 · 3 = 96, 24 · 4 = 96, 12 · 8 = 96 и 4 · 24 = 96.
В повести 150 страниц. Первые 5 дней ученик читал её по 18 страниц в день, а затем стал читать по 20 страниц в день. За сколько дней он прочитал эту повесть?
1) 18 · 5 = 90 (стр.) — прочитал за первые 5 дней.
2) 150 — 90 = 60 (стр.) — осталось прочитать.
3) 60 : 20 = 3 (дн.) — потребовалось на оставшиеся страницы.
4) 5 + 3 = 8 (дн.) — читал всего.
Ответ: 8 дней.
Пояснения
Шаг 1. Данные двух периодов чтения собраны в таблице.
| Темп чтения | Дней | Прочитано |
|---|---|---|
| 18 стр. в день | 5 | 18 · 5 = 90 стр. |
| 20 стр. в день | 60 : 20 = 3 | 60 стр. |
| Всего | 5 + 3 = 8 | 150 стр. |
Сначала ученик пять дней читал с одинаковой скоростью по 18 страниц.
Находим число страниц за первый период: 18 · 5 = 90 страниц.
Проверка произведения: 90 : 5 = 18 страниц в день.
Шаг 2. Во всей повести 150 страниц, поэтому после первых пяти дней осталось 150 — 90 = 60 страниц.
Проверяем остаток: 90 + 60 = 150 страниц.
Затем ученик читал по 20 страниц в день.
Чтобы определить длительность второго периода, оставшиеся 60 страниц делим на 20 страниц в день.
Шаг 3. Получаем 60 : 20 = 3 дня.
Проверка: 20 · 3 = 60 страниц.
Общее время состоит из первых пяти дней и ещё трёх дней.
Складываем 5 + 3 = 8 дней.
Шаг 4. Решение одним выражением: 5 + (150 — 18 · 5) : 20 = 8.
Сначала в этом выражении выполняем умножение, затем действие в скобках, деление и сложение.
За первые пять дней было прочитано больше половины повести: половина 150 страниц равна 75 страницам, а ученик прочитал 90.
Оставшиеся 60 страниц меньше первых 90 страниц, что согласуется с вычислениями.
Шаг 5. В последний период число страниц делится на дневную норму без остатка, поэтому неполного дня не требуется.
Ответ 8 дней включает оба периода чтения.
Проверяем общее число прочитанных страниц: 18 · 5 + 20 · 3 = 90 + 60 = 150.
Полученная сумма равна объёму повести, поэтому ни один день и ни одна страница не пропущены.
Шаг 6. Среднее число страниц за день можно оценить: 150 : 8 = 18 полных страниц и остаток 6, что находится между дневными темпами 18 и 20.
Пять первых дней и три следующих дня дают всего 5 + 3 = 8 дней. За это время прочитаны все 150 страниц.
Выполни деление.
5 316 : 6; 15 148 : 4.
5 316 : 6 = 886.
15 148 : 4 = 3 787.
Пояснения
Шаг 1. Разбираем деление 5 316 на 6 по неполным делимым. Сначала определяем высший разряд частного, затем на каждом разряде находим цифру частного, произведение и остаток.
5 тысяч меньше 6, поэтому первое неполное делимое — 53 сотни, а частное будет трёхзначным. 53 : 6 = 8 сотен. Умножаем 8 · 6 = 48 и вычитаем: 53 — 48 = 5 сотен. Остаток 5 меньше делителя 6.
Сносим 1 десяток и получаем 51 десяток. 51 : 6 = 8 десятков; 8 · 6 = 48, поэтому остаётся 3 десятка. Сносим 6 единиц, получаем 36. 36 : 6 = 6; 6 · 6 = 36, остаток 0. Значит, 5 316 : 6 = 886.
Шаг 2. Тем же алгоритмом выполняем второе деление и сверяем оба результата умножением.
15 148 : 4. Первое неполное делимое — 15 тысяч, поэтому в частном будет четыре цифры. 15 : 4 = 3, 3 · 4 = 12, остаётся 3 тысячи. Сносим 1 сотню: 31 : 4 = 7, 7 · 4 = 28, остаётся 3 сотни.
Сносим 4 десятка и получаем 34. 34 : 4 = 8, 8 · 4 = 32, остаётся 2 десятка. Сносим 8 единиц и получаем 28. 28 : 4 = 7, 7 · 4 = 28, остаток 0. Следовательно, 15 148 : 4 = 3 787.
Проверка первого примера: 886 · 6 = 5 316. Проверка второго: 3 787 · 4 = 15 148. В каждом промежуточном действии остаток меньше делителя, а итоговый остаток равен нулю, поэтому оба деления выполнены нацело.
Цифры частного получаются последовательно слева направо. После выбора каждой цифры умножаем её на делитель, вычитаем произведение и лишь затем сносим следующую цифру делимого. Нельзя пропускать разряд: если очередное неполное делимое меньше делителя, в соответствующем разряде частного записывают ноль. В данных примерах такого нуля в частном нет: каждое образованное неполное делимое позволяет получить следующую ненулевую цифру.
Шаг 3. Записываем оба деления уголком. Промежуточные произведения и остатки располагаем под теми разрядами, с которыми выполняется действие.
5 316 : 6 = 886.
Последовательно получены неполные делимые 53, 51 и 36; остатки равны 5, 3 и 0.
15 148 : 4 = 3 787.
Последовательно получены неполные делимые 15, 31, 34 и 28; остатки равны 3, 3, 2 и 0.
Начерти фигуры по образцу и закрась их части.
Первая фигура: квадрат со стороной 2 см, внутри окружность радиусом 1 см и два взаимно перпендикулярных диаметра.
Вторая фигура: окружность радиусом 1,5 см, внутри вписанный квадрат и его диагонали.
Пояснения
Шаг 1. Для первой фигуры чертим квадрат со стороной 2 см по линиям клеток.
Находим середину квадрата пересечением его диагоналей или делением сторон пополам.
Ставим ножку циркуля в центр и строим окружность радиусом 1 см.
Так как радиус равен половине стороны квадрата, окружность касается всех четырёх сторон.
Через центр проводим горизонтальный и вертикальный диаметры.
Два диаметра делят круг на четыре равные четверти.
Верхнюю левую и нижнюю правую четверти закрашиваем одним цветом.
Две остальные четверти закрашиваем другим цветом.
Для второй фигуры строим окружность радиусом 1,5 см.
Проводим вертикальный и горизонтальный диаметры длиной 3 см.
Соединяем четыре конца диаметров последовательно и получаем вписанный квадрат.
Этот квадрат расположен вершинами вверх, вправо, вниз и влево.
Два проведённых диаметра одновременно являются диагоналями квадрата.
Они делят квадрат на четыре равных треугольника.
Верхний и нижний треугольники закрашиваем одним цветом, левый и правый — другим.
Области между квадратом и окружностью оставляем светлыми, как в образце.
На чертеже показаны размеры и положение всех линий.
Все прямые проходят через центр соответствующей окружности, а противоположные части закрашены одинаково.