Решение упражнения номер 910 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

910

Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника ABC, а О — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2:1, считая от точки Н, т. е.HG/GO=2.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 910 Пусть A1, B1, C1 – середины сторон BC, CA и AB данного ΔABC. По правилу треугольника сложения векторов (A_1 O) ⃗+(OG) ⃗=(A_1 G) ⃗, (AH) ⃗+(HG) ⃗=(AG) ⃗. По теореме о пересечении медиан треугольника (AG) ⃗=-2(A_1 G) ⃗⇒(AH) ⃗+(HG) ⃗=-2(A_1 O) ⃗-2(OG) ⃗ (1) Векторы (AH) ⃗, (A_1 O) ⃗ коллинеарны, поэтому существует число X такое, что (A_1 O) ⃗=X(AH) ⃗. Отсюда и из равенства (1) получаем: (HG) ⃗+2(OG) ⃗=-(2X+1)(AH) ⃗  Аналогично, (HG) ⃗+2(OG) ⃗=-(2μ+1)(BH) ⃗, где число μ определяется из равенства (B_1 O) ⃗=μ(BH) ⃗. Векторы (AH) ⃗ и (BH) ⃗ не коллинеарны, поэтому из полученных равенств следует, что (HG) ⃗+2(OG) ⃗=0 ⃗, т.е. (HG) ⃗=-2(OG) ⃗. Или (OG) ⃗=1/2 (GH) ⃗. Это означает, что точка G лежит на отрезке OH и HG/GO=2.