Решение упражнения номер 909 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

Задание 909

Биссектрисы внешних углов треугольника ABC при вершинах А, В и С пересекают прямые ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, B1 и С1. Используя векторы, докажите, что точки А1, В1 и C1 лежат на одной прямой.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 909 Пусть AB = C, BC = A, CA = B ⇒ b(BA_1 ) ⃗=c(CA_1 ) ⃗, c(CB_1 ) ⃗=a(AB_1 ) ⃗ , a(AC_1 ) ⃗=b(BC_1 ) ⃗. Эти три равенства можно записать так: b((BC) ⃗+(CA_1 ) ⃗ )=c(CA_1 ) ⃗, c(CB_1 ) ⃗=a((AC) ⃗+(CB_1 ) ⃗), a((AC) ⃗+(CC_1 ) ⃗ )=b((BC) ⃗+(CC_1 ) ⃗). Или (c-b) (CA_1 ) ⃗=b(BC) ⃗ (a-c) (CB_1 ) ⃗=a(CA) ⃗ (a-b) (CC_1 ) ⃗=b(BC) ⃗+a(CA) ⃗ Из последних трех равенств следует, что (c-b) (CA_1 ) ⃗+(a-c) (CB_1 ) ⃗+(b-a) (CC_1 ) ⃗=0 ⃗ ⇒ A1, B1, C1 лежат на одной прямой.