Решение упражнения номер 908 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

908

Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 908 Пусть ABCD – произвольный четырехугольник, E и F – середины диагоналей AC и BD, а G – точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. Тогда если P и Q – середины сторон AB и CD, то согласно задаче, точка O – середина отрезка PQ. Поэтому: (OG) ⃗=1/2((OP) ⃗+(OQ) ⃗), (OE) ⃗=1/2((OA) ⃗+(OC)) ⃗. (OF) ⃗=1/2((OB) ⃗+(OD)) ⃗, (OP) ⃗=1/2((OA) ⃗+(OB) ⃗), (OQ) ⃗=1/2((OC) ⃗+(OD) ⃗), где O – произвольная точка плоскости. Отсюда получаем: (OG) ⃗=1/2∙1/2 ((OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗+(OD) ⃗ )=1/2((OE) ⃗+(OF) ⃗). Таким образом, 2(OG) ⃗-(OE) ⃗-(OF) ⃗=0 ⃗ ⇒ точки E, F и G лежат на одной прямой.