Решение упражнения номер 906 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

906

Дан треугольник ABC. Докажите, что вектор AB/|AB|=AC/|AC| направлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор AB/|AB|-AC/|AC| — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 906 Рассмотрим векторы (AB_1 ) ⃗=(AB) ⃗/|(AB) ⃗ | , (AC_1 ) ⃗=(AC) ⃗/|(AC) ⃗ | , (AM) ⃗=(AB_1 ) ⃗+(AC_1 ) ⃗ По правилу параллелограмма сложения векторов четырехугольник AC1MB1 – параллелограмм, а так как векторы (AB_1 ) ⃗ и (AC_1 ) ⃗– единичные, то AC1MB1 – ромб. Из равенства (AM) ⃗=(AB_1 ) ⃗+(AC_1 ) ⃗ следует, что вектор AM направлен вдоль диагонали этого ромба. Отсюда, учитывая, что (AB_1 ) ⃗↑↑(AB) ⃗, (AC_1 ) ⃗↑↑(AC) ⃗, мы заключаем, что (AM) ⃗ направлен вдоль биссектрисы ∠BAC. Вектор (C_1 B_1 ) ⃗=(AB_1 ) ⃗-(AC_1 ) ⃗ направлен вдоль другой диагонали ромба. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то вектор (AB_1 ) ⃗-(AC_1 ) ⃗ направлен вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине A треугольника ABC.