Решение упражнения номер 897 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

897

Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 897 Рассмотрим две окружности с центрами O1 и O2 радиусов R1 и R2, каждая из которых лежит вне другой окружности. Если R1 = R2 (рис. а), то решение задачи очевидно. Пусть, например, R1 ˃ R2. Если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, то касательная называется внешней, а если по разные стороны – внутренней. Построим сначала внешнюю касательную. Проведем окружность с центром O1 радиуса R1 – R2 и построим к ней касательную O2M (рис. б) так, как это описано в решении задачи. По свойству касательной O1M⊥O2M. Проведем теперь через точку M радиус O1A, а также радиус O2B⊥O2M. Прямая AB – искомая касательная. В четырехугольнике MABO2 противоположные стороны MA и O2B равны по построению и параллельны, так как обе перпендикулярны к прямой O2M. Поэтому этот четырехугольник – параллелограмм. Так как угол O2 этого параллелограмма прямой, то и остальные его углы прямые. Следовательно, прямая AB – касательная к обеим окружностям. Для построения внутренней касательной следует сначала провести окружность с центром O1 радиуса и R1 + R2, а затем выполнить построение, аналогичное описанному (рис. в).