Решение упражнения номер 896 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

896

Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 896 Пусть B – произвольная точка окружности, описанной около данного треугольника. Обозначим вершины треугольника буквами A, B и C, так чтобы получился четырехугольник ABCD. В этом четырехугольнике ∠A + ∠C = 180°, поэтому либо ∠A = ∠C = 90°, и тогда прямой Симпсона будет прямая AC, либо один из этих углов острый, а другой тупой. Для определенности будем считать, что ∠A – острый. Рассмотрим два случая: ∠ACE = ∠ABB - острые. Указанные углы тупые. В первом случае основание H перпендикуляра, проведенного из точки D к прямой AB, лежит между A и B, основание K перпендикуляра к AC лежит между A и C, а основание M перпендикуляра и BC – вне отрезка BC (рис. а). Во втором случае все три основания перпендикуляров лежат вне сторон ΔABC (рис. б). Ход рассуждений в этих двух случаях в основном один и тот же. Поэтому проведем доказательство для первого случая, отмечая в скобках те изменения, которые следует внести в текст доказательства для второго случая. Поскольку ∠AHD = ∠AKD = 90°, то точки A, H, K и D лежат на окружности с диаметром AD ⇒ углы AKH и ADH, вписанные в эту окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу AH, равны. Углы CKD и OMD также прямые. Поэтому точки C, K, M и D лежат на окружности с диаметром CD. Следовательно, углы CKM и CDM, вписанные в эту окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу CM, равны (во втором случае эти углы составляют в сумме 180°). Но ∠ADH = 90° - ∠BAD, а ∠CDM = 90° - ∠MCD = 90° - (180° - ∠BCD) = 90° -∠BAD, поскольку ∠BAD + ∠BCD = 180° ⇒ ∠ADH = ∠CDM. Итак, ∠AKH = ∠ADH, ∠CKM = ∠CDM (во втором случае ∠CKM + ∠CDM = 180°), ∠ADH = ∠CDM. Поэтому ∠AKH = ∠CKM (во втором случае ∠AKH + ∠CKM = 180°). Это и означает, что точки H, K и M лежат на одной прямой.