Решение упражнения номер 895 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

895

Для неравностороннего треугольника ABC точка О является центром описанной окружности, Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты AA1, ВВ1 и СС1, точки А2, В2, С2 — середины отрезков АН, ВН, СН, а точки А3, В3, С3 — середины сторон треугольника ABC. Докажите, что точки A1, B1, C1, А2, В2, С2, А3, В3, С3 лежат на одной окружности (окружность Эйлера).

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 895 Пусть точка M – середина отрезка OH, MN⊥AC. Поскольку прямые HB1||MN||OB3, то по теореме Фалеса B1N = NB3. Поэтому прямоугольные ΔB1MN = ΔB3MN по двум катетам, а значит, MB1 = MB3. Пусть B4 – точка, симметричная точке H относительно стороны AC. В ΔOHB4 отрезок MB1 – средняя линия, поэтому 〖MB〗_1=(OB_4)/2. Но точка B4 лежит на окружности, описанной около треугольника ABC ⇒ отрезок MB_1=MB_3=R/2, R – радиус описанной окружности. Отрезок MB2, будучи средней линией ΔBOH, также равен R/2. Тем самым MB_1=MB_2=MB_3=R/2. Аналогично доказывается, что MA_1=MA_2=MA_3=R/2 и MC_1=MC_2=MC_3=R/2. Это означает, что все точки: A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3 – лежат на одной окружности с центром M радиуса R/2.