Решение упражнения номер 894 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

894

Докажите, что в любом треугольнике радиус R описанной окружности, радиус г вписанной окружности и расстояние d между центрами этих окружностей связаны равенством d2 = R2 — 2Rr (формула Эйлера).

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 894 Рассмотрим ΔABC, у которого точка O – центр описанной окружности, а точка M – центр вписанной окружности. Допустим сначала, что D ≠ 0 (рис. а). Проведем через точку M диаметр PQ описанной окружности, а также биссектрисы AM и BM углов A и B. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд PM · MQ = AM · MA1 или (R + D)(R - D) = AM · MA1. Далее, поскольку AA1 и BB1 – биссектрисы углов A и B, то ∪BA1 = ∪A1C и ∪CB1 = ∪B1A ⇒ ∠〖BMA〗_1=(∪〖BA〗_1+∪〖AB〗_1)/2=(∪A_1 C+∪〖CB〗_1)/2=∠〖MBA〗_1. Это означает, что ΔMA1B – равнобедренный. Поэтому найденное нами соотношение можно переписать так: (R + D)(R – D) = AM · BA1. Проведем теперь диаметр A1A2 описанной окружности. Пусть K – точка касания вписанной окружности и стороны AB. Прямоугольные треугольники A1A2B и AMK имеют равные острые углы A и A2, поэтому эти треугольники подобны. Следовательно, MK : BA1 = AM : A1A2 или R : BA1 = AM : 2R откуда AM · BA1 = 2RR. Таким образом, наше соотношение принимает вид: (R + D)(R – D) = 2RR или d^2=R^2-2Rr. Если D = 0 (рис. б), то каждая сторона ΔABC равна 2√(R^2-r^2 ), а значит, этот треугольник – равносторонний. Поэтому ∠BAC = 60°, ∠BAO = 30° и, следовательно, R = 2R, или 0=R^2-2Rr.