Решение упражнения номер 893 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

893

Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 893 Рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD и на его диагонали AC возьмем такую точку K, что ∠ABK = ∠CBD. ΔABK ~ ΔDBC, поскольку ∠ABK = ∠CBD по построению, а ∠BAC = ∠BDC как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же ∪BC ⇒ AB : BD = AK : CD. Откуда AB · CD = AK · BD (1) ΔBCK ~ ΔABD, так как ∠CBK = ∠ABD по построению, а ∠ACB = ∠ADB как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AB. Поэтому BC : BD = KC : AD, откуда AD · BC = KC · BD. Сложив последнее равенство с равенством (1) получим: AB · CD + AD · BC = BD (AK + KC) = BD · AC.