Решение упражнения номер 891 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

891

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = ВС + AD.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 891 Проведем через точку M пересечения биссектрис углов A и B прямую, параллельную AB, и обозначим буквами E и F, точки пересечения этой прямой с прямыми AD и BC. Рассмотрим треугольники DEM и CFM. Поскольку четырехугольник ABCD – вписанный, то ∠A + ∠C = 180°. С другой стороны, поскольку EF||AB, то ∠A + ∠E = 180°. Следовательно, ∠C = ∠E. Кроме того, угли при вершине M рассматриваемых треугольников равны как вертикальные углы. Поэтому эти треугольники подобны. Заметим теперь, что точка M, будучи точкой пересечения биссектрис углов A и B, равноудалена от прямых AB и AD, а также от прямых AB и BC, а значит, она равноудалена и от прямых AD и BC. Иными словами, высоты рассматриваемых треугольников, проведенные из вершины M, равны. Из этого следует, что ΔDEM = ΔCFM. ∠AME = ∠BAM как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых AB и EF секущей AM. Следовательно, в ΔAEM ∠A = ∠M, а значит, AE = EM. По аналогичной причине BF = FM. Имеем: CD = DM + MC = FM + EM = BF + AE = BC + AD, поскольку отрезки CF и ED равны.