Решение упражнения номер 889 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

889

Произвольная точка X окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков АХ, ВХ и СХ равен сумме двух других отрезков.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 889 Пусть, например, XC ˃ XA и XC ˃ XB. Отложим на отрезке XC отрезок XD, равный XA. В равнобедренном ΔAXD угол AXD равен вписанному углу AXC, опирающемуся ∪AC = 120°. Следовательно, этот угол, а значит, и угол ABX, равен 60°. Рассмотрим теперь треугольники ABX и ACE. В этих треугольниках ∠X=(360°-120°)/2=120°=∠D, ∠B = ∠C, поскольку эти углы опираются на одну и ту же дугу XA. Следовательно, и ∠BAX = ∠CAD. Кроме того, AB = AC по условию. Следовательно, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, а значит, CD = XB. Тем самым XC = XD + CD = XA + XB.