Решение упражнения номер 886 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

886

Пусть H — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, а А’, В’, С’ — точки, симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА, АВ. Докажите, что точки А’, В’, С’ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 886 Докажем, что точка A' лежит на окружности, описанной около ΔABC (для точек B' и C доказательство аналогичное). Возможны три случая: 1) - угол B острый (рис. а). 2) - угол B прямой (рис. б). 3) - угол B тупой (рис. в). Рассмотрим эти случаи отдельно. Поскольку точки H и A' симметричны относительно прямой BC, то ∠CBA' = ∠CBH = 90° - ∠C. Следовательно, ∠ABA' = 90° - ∠C + ∠B. Аналогично, ∠ACA' = 90° - ∠B + ∠C. Таким образом, сумма противоположных углов B и C четырехугольника ABA'C равен 180°. Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность. Но через точки A, B и C проходит только одна окружность – окружность, описанная около треугольника ABC. Значит, точки A' лежит на этой окружности. Утверждение очевидно поскольку точки B, H и A' совпадают. Поскольку точки H м A' симметричны относительно прямой BC, то ∠AA'B = 180° - ∠HA'B = 180° - ∠BHA'. Но ∠BHA' = ∠BHA = 90° - ∠CAH = ∠C Таким образом, сумма противоположных углов A' и C четырехугольника AA’BC равна 180°. Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность. Но через точки A, B и C проходит только одна окружность – окружность, описанная около ΔABC. Значит, точка A' лежит на этой окружности.