Решение упражнения номер 885 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

885

Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 885 Пусть A1, B1 и C1 – вершины нового треугольника. Докажем, например, что точка A1 лежит на прямой, содержащей биссектрису ΔABC, проведенную из вершины A (для точек B1 и C1. Доказательство аналогичное). Заметим прежде всего, что прямые A1B1, B1C1 и C1A1 содержат биссектрисы внешних углов ΔABC (например, ∠1 = ∠2 = 90° - α). Поскольку точка A1 лежит на биссектрисе внешнего угла B ΔABC, то она равноудалена от прямых AB и BC. А так же, она равноудалена от прямых AC и BC. Следовательно, она равноудалена от прямых AB и AC, а значит, лежит на биссектрисе ∠BAC. Таким образом, она лежит на прямой, содержащей биссектрису ΔABC, проведенную из вершины A.