Решение упражнения номер 877 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

877

Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А1, а другую — в точках ВиB1. Докажите, что АА1|| ВВ1.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 877 Пусть O1 и O2 – центры данных окружностей. Тогда точка M лежит на прямой O1O2 (иначе точка, симметричная точке M относительно прямой O1O2, общая точка данных окружностей). Следовательно, прямая CD, проходящая через точку M и перпендикулярная к прямой O1O2, является общей касательной двух данных окружностей. Возможны два случая: данные окружности лежат по одну сторону от общей касательной (рис. а). Данные окружности лежат по разные стороны от общей касательной (рис. б). 1 случай Так как угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной внутри угла дуги, то величины дуг MA1 и MB1, заключенных внутри ∠A1MC (внутри вертикальных углов A1MC и B1MD), равны. Следовательно, равны и вписанные углы A1AM, B1BM, опирающиеся на эти дуги. Но эти углы являются соответственными (накрест лежащими) углами, образованными при пересечении прямых AA1 и BB1, секущей AB. Поэтому AA1||BB1. 2 случай Так как угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной внутри угла дуги, то величины дуг MA1 и MB1, заключенных внутри вертикальных углов A1MC и B1MD, равны. Следовательно, равны и вписанные углы A1AM, B1BM, опирающиеся на эти дуги. Но эти углы являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых AA1и BB1, секущей AB. Поэтому AA1||BB1.