Решение упражнения номер 874 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

Задание 874

Постройте треугольник по трём высотам.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 874 Пусть даны отрезки PQ, RE, P1Q1. Требуется построить ΔABC, высоты которого, проведенные из вершин A, B и C, соответственно равны PQ, RE, P1Q1. Обозначим через A, B и C длины сторон искомого треугольника, противолежащих углам A, B и C, а через HA, HB и HC длины отрезков PQ, RE, P3Q3. Воспользуемся равенствами AHA = BHB = CHC (каждое из произведений равно удвоенной площади треугольника). Так как 〖ah〗_a=〖bh〗_b,⇒a/h_b =b/h_a Так как 〖bh〗_b=〖ch〗_c⇒b=h_c/h_b ∙c⇒b/h_(a ) =c/((h_a h_b)/h_c )⇒a/h_b =b/h_a =c/((h_a h_b)/h_c ) Это значит, что искомый треугольник со сторонами A, B, C подобен треугольнику со сторонами HA, HB, (h_a h_b)/h_c Построение. По данным отрезкам PQ, RE, P1Q1 с длинами HA, HB и HC построим отрезок P4Q4, длина которого равна (h_a h_b)/h_c . Построим ΔAB1C1 по трем сторонам: AB1 = P2Q2, B1C1 = RE, AC1 = PQ. Этот треугольник подобен искомому треугольнику. Проведем высоту AH1 ΔAB1C1и на луче AH1 отложим отрезок AH = PQ. Через точку H проведем прямую параллельную B1C1. Она пересекается с лучами AB1 и AC1 в некоторых точках B и C. ΔABC - искомый. Доказательство. ΔABC ~ ΔAB1C1 и, следовательно, подобен искомому треугольнику. Высота AH в ΔABC равна P1Q1, как и должно быть в искомом треугольнике, т.е. сходственные высоты в треугольнике ABC и искомом треугольнике равны ⇒ коэффициент подобия этих треугольников равен 1, а это и означает, что ΔABC - искомый.