Решение упражнения номер 872 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

872

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 872 Пусть даны отрезки XY, RK, PQ. Требуется построить ΔABC, у которого AB = XY, AC = RK, AD = PQ, где AD – биссектриса Δ. Пусть ΔABC – искомый треугольник. Для краткости записи обозначим длины данных отрезков XY, RK и PQ через B, C и A. Тогда AB = B, AC = C, AD = A. Проведем BE||AC. Получим равнобедренный ΔABE (AB = BE = B). Выразим DE через A, B, C. Из подобия треугольников EDB и ABC (по двум углам) имеем: DE/AD=BE/AC, откуда DE=ab/c. По данным отрезкам с длинами A, B, C можно построить отрезок DE . После этого можно построить ΔABE, а затем искомый ΔABC. Построение. Строим отрезок равный ab/c Далее строим ΔABE по трем сторонам: AB = BE = B, AE=a+ab/c. Затем через точку A проводим луч AM так, что ∠MAE = ∠EAB, и на этом луче откладываем отрезок AC = C. ΔABC - искомый Доказательство. По построению AB = B, AC = C, луч AE – биссектриса ΔCAB. Пусть D – точка пересечения AE и BC. Из подобия треугольников ADC и EDB следует: AD/DE=AC/BE, откуда, AD=DE∙AC/BE=ab/c∙b/c=a, т.е. биссектриса AD ΔABC равна A. Итак, ΔABC удовлетворяет всем условиям задачи.