Решение упражнения номер 870 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

870

Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой АВ, не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы AD/DB=AC/CB. Всегда ли задача имеет решение?

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 870 Пусть AC ˃ CB. Отметим точку M, не лежащую на прямой AB, и на луче AM отложим отрезок AC1, равный AC, а затем на луче C1A отложим отрезок C1B1, равный CB. Проведем через точку C1 прямую, параллельную прямой B1B. Она пересекает прямую AB в искомой точке D. Действительно, так как C1D||B1B, то (C_1 B_1)/DB=〖AB〗_1/AB Отсюда используя свойства пропорций, получаем: (C_1 B_1)/DB=(〖AB〗_1+C_1 B_1)/(AB+DB)=〖AC〗_1/AD. Но C1B1 = CB, AC1 = AC (по построению), поэтому CB/DB=AC/AD, откуда AC/CB=AD/DB. Тем самым доказано, что точка D – искомая. Если AC < CB, то построение искомой точки D проводится таким же образом, как и в случае AC ˃ CB, но только теперь точка A будет лежать между C1 и B1. Наконец, если AC = CB, то AC/CB=1, а для любой точки D прямой AB, не лежащей на отрезке AB, AD/DB≠1. Таким образом, в этом DB случае построение точки D невозможно. Ответ: не всегда.