Решение упражнения номер 866 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

866

Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам треугольника ABC. Докажите, что SEFG/SABC=3/4.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 866 Пусть AA1, BB1, CC1 – медианы ΔABC, O - точка пересечения медиан. Проведем прямую AM, параллельную медиане CC1, и прямую A1K, параллельную медиане BB1. Тогда отрезок CC1 – средняя линия ΔABM и поэтому AM = 2CC1. Пусть прямая BB1 пересекает отрезок AM в точке N. Так как AO : OA1 = 2, то AN : NK = 2, т.е. AN = 2NK и, значит, AK = 3MK. Поскольку BC = CM и BA1 = A1C = ½ BC, то A1M : BA1 = 3 ⇒ KM : NK = 3, т.е. KM = 3NK. Таким образом, AK = KM, а так как AM = 2CC1, то AK = CC1. Отрезок B1K – средняя линия ΔACM, поэтому B1K||BA1 и так как A1K||BB1, то BB1KA1 – параллелограмм. Отсюда следует, что A1K = BB1. Итак, в ΔAA1K: A1K = BB1, AK = CC1, т.е. стороны ΔAA1K соответственно равны медианам ΔABC и, значит, ΔAA1K = ΔBCO (см. условие задачи). Тем самым нужно доказать, что S_(KAA_1 )/S_ABC =3/4 Так как BM = 2BC, 〖BA〗_1=1/2 BC, то S_ABM=2S_ABC S_(〖ABA〗_1 )=1/2 S_ABC и поэтому S_(〖AMA〗_1 )=S_ABM-S_(〖ABA〗_1 )=3/2 S_ABC . Треугольники AA1M и AA1K имеют общую высоту, проведенную из вершины A1, и AK=1/2 AM. Поэтому S_(〖KAA〗_1 )=1/2 S_(〖AMA〗_1 )=3/4 S_ABC Отсюда получаем: S_(〖KAA〗_1 )/S_ABC =3/4