Решение упражнения номер 864 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

864

Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 864 Если ΔABC – остроугольный, отрезки AA1, BB1 и CC1 – его высоты, то точки A1, B1 и C1 являются внутренними точками сторон BC, CA и AB и, поэтому, середины высот не лежат на одной прямой. Если ΔABC – тупоугольный с тупым углом A (рис. а), то основание высоты AA1 (точка A1) лежит на стороне BC, а основание высот BB1 и CC1 (точки B1 и C1) лежат на продолжениях сторон CA и AB. При этом середина O1 высоты AA1 лежит на средней линии RQ, а середины O2 и O3 – на продолжениях средних линий PR и PQ (рис. а). Таким образом точка O1 лежит на стороне PR ΔPQR, а точки O2 и O3 на продолжениях двух других сторон этого треугольника. Поэтому точки O1, O2 и O3 не лежат на одной прямой. Если же ΔABC – прямоугольный с прямым углом A (рис. б), то его высоты, проведенные из вершин B и C, совпадают с катетами BA и CA. Поэтому середины O2 и O3 этих высот являются серединами катетов, а отрезок O2O3 - средней линией ΔABC. Середина O1 высоты, проведенной из вершины A, лежит на средней линии O2O3. Таким образом, середины O1, O2 и O3 высот прямоугольного треугольника лежат на одной прямой. Итак, если середины трех высот треугольника лежат на одной прямой, то этот треугольник – прямоугольный