Решение упражнения номер 862 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

862

Из вершины А треугольника ABC проведены перпендикуляры AM и АК к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок МК равен половине периметра треугольника ABC.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 862 Дано: ΔABC AM⊥BM. AK⊥CK BM и CK – биссектрисы Доказать: MK=1/2 P_ABC Доказательство: Обозначим точки пересечения прямой BC с прямыми AM и AK буквами D и E. В ΔABD отрезок BM является биссектрисой и высотой, поэтому ΔABD – равнобедренный: DB = AB. Кроме того, BM является также медианой, т.е. точка M – середина отрезка AD. Аналогично, в ΔACE отрезок CK является биссектрисой и высотой, поэтому CE = AC и точка K – середина отрезка AE. Таким образом, отрезок MK – средняя линия ΔADE и, значит, MK=1/2 DE=1/2 (DB+BC+CE)=1/2(AB+BC+AC), т.е. отрезок MK равен половине периметра треугольника ABC. Вывод: что требовалось доказать.