Решение упражнения номер 861 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

861

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Треугольник АВО, где АВ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков ОА, OD и ВС, равносторонний.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 861 Пусть точки E, F и G – середины отрезков OA, OD и BC. Требуется доказать, что ΔEFG – равносторонний, т.е. EF = FG = EG. Рассмотрим ΔCDO и ΔABO Так как ∠COD = ∠AOB (вертикальные), ∠BAO = ∠DCO (как накрест лежащие при AB||DC) ⇒ ΔCDO ~ ΔABO (по двум углам) ⇒ ΔCDO – равносторонний, и OD = OC. ΔAOD = ΔBOC по двум сторонам и углу между ними (AO = BO и OD = OC (по свойству диагоналей), ∠AOD = ∠BOC - вертикальные), ⇒ AD = BC. Отрезок EF – средняя линия ΔAOD (т.к. AE = EO, OF = FD) и, значит, EF=1/2 AD=1/2 BC. Отрезок CF – медиана равностороннего ΔCDO, поэтому CF⊥DO, т.е. ∠CFB = 90°. Медиана FG прямоугольного ΔCFB равна половине гипотенузы, т.е. FG=1/2 BC. Аналогично, отрезок BE – медиана равностороннего ΔABO, поэтому BE⊥AO, т.е. ∠BEC = 90°. Медиана EG прямоугольного ΔBEC равна половине гипотенузы: EG=1/2 BC⇒EF=FG=EG=1/2 BC⇒∆EFG - равносторонний. Вывод: что требовалось доказать.