Решение упражнения номер 858 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

858

Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 858 Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, в котором стороны AB и DC не параллельны, точки M и N – середины сторон AD и BC. Требуется доказать, что MN<1/2(AB+CD). Отметим точку D1, симметричную точке D относительно точки N. Треугольники NDC и ND1B равны по двум сторонам и углу между ними (NC = NB, ND = ND1, ∠DNC = ∠D1NB), поэтому BD1 = DC и ∠DCN = ∠D1BN. Из последнего равенства следует, что BD1||DC, и, следовательно, точки A, B и D1 не лежат на одной прямой. В ΔABD1 AD1 < AB + BD1, т.е. AD1 < AB + CD Отрезок MN – средняя линия ΔDAD1, поэтому AD1 = 2MN Таким образом, 2MN <AB + CD, т.е. MN<1/2(AB+CD).