Решение упражнения номер 859 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

859

Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 859 Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, точки M, P, N, Q - середины его сторон. По условию MN+PQ=1/2(AB+BC+CD+DA) (1) Требуется доказать, что ABCD – параллелограмм. Докажем, что AB||CD и AD||BC. Предположим, что это не так: например, AB и CD не параллельны. Тогда, согласно задаче MN<1/2(AB+CD) (2) С другой стороны, PQ≤1/2(BC+DA) (3) Знак равенства в (3) имеет место в том случае, когда BC||DA. Складывая равенства (2) и (3), получаем: MN+PQ=1/2(AB+BC+CD+DA), что противоречит равенству (1). Следовательно, наше предположение неверно и, значит, AB||CD и AD||BC, т.е. ABCD – параллелограмм.