Решение упражнения номер 856 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

856

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол ADP = угол PDC, угол.ADP = 2/3 угол PAD и AD = BD = CD. а) Найдите все углы четырёхугольника. б) Докажите, что АВ2 = ВР x BD.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 856 а) Пусть ∠ADP = α. Тогда ∠PDC = 2α, ∠PAD = 3/2α ΔACD – равнобедренный (AD = CD), поэтому ∠ACD = 3/2 α. В ΔACD: 3/2 α+3/2 α+3α=180°⇒α=30° и, значит, ∠D = 3α = 90°. В равнобедренном ΔABD: ∠A=∠ABD=(180°-α)/2=75°. В равнобедренном треугольнике BCD ∠C=∠CBD=(180°-2α)/2=60° ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 75° + 60° = 135° Итак, в четырехугольнике ABCD: ∠A = 75°, ∠B = 135°, ∠C = 60°, ∠D = 90° б) ∠BAP = ∠BAD - ∠PAD = 75° - 45° = 30°. ΔABP ~ ΔABD по двум углам (∠BAP = ∠ABD = 30°, ∠B – общий), поэтому AB/BP=BD/AB т.е. AB^2=BP∙BD.