Решение упражнения номер 855 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

Задание 855

Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам АС и ВС. Докажите, что:а) CD3 = АВ x АЕ x BF;б) АЕ2 + BF2 + 3CD2 = АВ2;в) кореньAE2 + кореньBF2 = кореньAB2.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 855 а) Из прямоугольных треугольников ABC, BDC и ACB находим: 〖AD〗^2=AC∙AE, 〖BD〗^2=BC∙BF, 〖CD〗^2=AD∙BD AC∙BC=AB∙CD (1) Перемножая первые два равенства и учитывая третье, получаем 〖CD〗^2=AC∙BC∙AE∙BF Заменяя AC∙BC на AB∙CD (четвертое равенство в (1)) и разделив на CD, приходим к равенству 〖CB〗^3=AB∙AE∙BF б) 〖AB〗^2=〖(AB+BD)〗^2=〖AD〗^2+〖BD〗^2+2AD∙BD=〖AD〗^2+〖BD〗^2+2〖CD〗^2 (2) Из треугольников ADE и BDF по теореме Пифагора находим: 〖AD〗^2=〖AE〗^2+〖ED〗^2, 〖BD〗^2=〖BF〗^2+〖DF〗^2, Откуда 〖AD〗^2+〖BD〗^2=〖AE〗^2+〖BF〗^2+(〖ED〗^2+〖DF〗^2 )=〖AE〗^2+〖BF〗^2+〖CD〗^2. Подставляя это выражение в равенство (2), получаем 〖AB〗^2=〖AE〗^2+〖BF〗^2+〖3CD〗^2 в) ΔADE ~ ΔABC, поэтому AD/AE=AB/AC, а так как AC=〖AD〗^2/AE (первое равенство в (1)), то AD/AE=AB∙AE/〖AD〗^2 AD∙〖AD〗^2=AB∙AE∙AE AD=∛(AB∙〖AE〗^2 ) Аналогично, используя подобие треугольников BDF и BAC и второе равенство в (1), получаем: BD=∛(AB∙〖BF〗^2 ) Отсюда следует: AD+BD=AB=∛(AB∙〖AE〗^2 )+∛(AB∙〖BF〗^2 ) Разделив на ∛AB, приходим к равенству ∛(AB^2 )=∛(AE^2 )+∛(〖BF〗^2 )