Решение упражнения номер 854 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

854

В равнобедренном треугольнике ABC из середины D основания АС проведён перпендикуляр DH к стороне ВС. Пусть М — середина отрезка DH. Докажите, что ВМ перпендикулярен АН.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 854 Пусть AE – высота ΔABC. Тогда DH||AE и так как AD = DC, то EH = HC. Так как прямоугольные треугольники AEC и BDC (они имеют общий острый угол C) и так же прямоугольные треугольники BDC и BHD (они имеют общий угол с вершиной B) подобны, то ΔAEC ~ ΔBHD. Отрезки AH и BM – сходственные медианы в этих подобных треугольниках, поэтому ΔAEH ~ ΔBMH, откуда следует, что ∠EAH = ∠HBM. Пусть отрезки AH и BM пересекаются в точке K. Тогда ∠BHK = ∠EHA = 90° - ∠EAH = 90° - ∠HBM = 90° - ∠HBK, откуда получаем: ∠BHK + ∠HBK = 90°, и значит, ∠BKH = 90, т.е. BM⊥AH.