Решение упражнения номер 853 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

853

Из точки М внутренней области угла АОВ проведены перпендикуляры МР и MQ к его сторонам ОА и ОB. Из точек Р и Q проведены перпендикуляры PR и QS соответственно к ОB и ОА. Докажите, что RSперпендикулярнаОМ.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 853 Так как PR||FQ, то ΔORP ~ ΔOFQ, откуда следует, что OP/OR=OF/OQ. Так как SQ||PE, то ΔOSQ ~ ΔOPE, откуда следует, что OQ/OS=OE/OF. Перемножая полученные равенства, приходим к пропорции OP/OR∙OE/OP=OF/OQ∙OQ/OS⇒OE/OR=OF/OS, которая показывает, что ΔOEF ~ ΔORS ⇒ ∠OEF = ∠ORS и поэтому EF||RS. Пусть луч OM пересекает отрезок EF в точке H. Для доказательства того, что RS⊥OM, достаточно доказать, что OH⊥EF. Прямоугольные треугольники MPF и EPO подобны, так как имеют по равному острому углу (∠MFP = ∠QFO = 90° - ∠AOB и ∠OEP = 90° - ∠AOB, поэтому ∠MFP = ∠OEP). Из подобия этих треугольников следует, что MP/PF=OP/PE, т.е. катеты MP и OP ΔOMP пропорциональны катетам PF и PE ΔFPE. Следовательно, ΔOMP ~ ΔPFE, а значит, ∠POM = ∠PEF или ∠POM = ∠MEH, т.е. в ΔPOM и ΔHEM углы с вершинами O и E равны. Углы этих треугольников с вершинами в точке M равны как вертикальные. Поэтому ΔHEM ~ ΔPOM (по двум углам) ⇒ ∠EHM = ∠OPM = 90°, т.е. OH⊥EF.