Решение упражнения номер 852 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

852

В треугольнике ABC уголA=180°/7 и уголB = 360°/7. Докажите, что 1/BC=1/AC+1/AB.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 852 Пусть AB = C, BC = A, AC = B. Требуется доказать, что 1/a=1/b+1/c ∠C = 180° - (∠A + ∠B)=(720°)/7, поэтому ∠C = 2·∠B, а ∠B = 2·∠A. Проведем биссектрисы BD и CE. Тогда ΔBDC ~ ΔABC (по двум углам), откуда следует, что CD/a=BD/c=a/b Отсюда получаем: BD=ac/b, CD=a^2/b Так как в треугольнике ABD ∠A = ∠ABD, то AD=BD=ac/b Сложив равенства AD=ac/b и CD=a^2/b, получим: b=ac/b+a^2/b, или b^2=ac+a^2, откуда (b-a)(b+a)=ac. ΔACE ~ ΔABC (по двум углам), откуда следует, что CE/a=AE/b=b/c. Отсюда получаем: CE=ab/c, AE=b^2/c. Так как в треугольнике BCE ∠B = ∠BCE, то BE=CE=ab/c. Сложив равенства BE=ab/c и AE=b^2/c, получим: c=ab/c+b^2/c или c^2=ab+b^2=(a+b), откуда a+b=c^2/b Так как (b-a)(b+a)=ac и a+b=c^2/b⇒((b-a)c^2)/b, или bc=ac+ab Разделив последнее равенство на abc, получим 1/a=1/b+1/c.