Решение упражнения номер 851 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

851

Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна а.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 851 Обозначим данный прямоугольный треугольник через ABC, а точку пересечения диагоналей квадрата, построенного на гипотенузе BC, - буквой D. Требуется найти AD. Проведем луч DE так, что ∠CDE = ∠BDA. Тогда ΔABD = ΔECD по стороне и двум прилежащим углам, так как каждый из этих отрезков равен половине диагонали квадрата. ∠BDA = ∠CDE по построению. ∠ABD = ∠1 + 45°, ∠DCE = 180° - (∠2 + 45°) = 180° - (90° - ∠1 + 45°) = ∠1 + 45° и, следовательно, ∠ABD = ∠DCE. Отсюда следует, что AD = DE и AB = CE. Поэтому AE = AC + CE = AC + AB = A. Треугольник ADE – равнобедренный (AD = DE) и прямоугольный (∠ADE = ∠CDE + ∠ADC = ∠BDA + ∠ADC = ∠BDC = 90°). Поэтому AD=AE/√2=a/√2 Ответ: a/√2