Решение упражнения номер 850 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

850

Точки Е и F лежат на стороне АВ треугольника ABC, причём точка Е лежит на отрезке AF и AE = BF. Прямая, проведённая через точку Е параллельно стороне АС, пересекает прямую, проведённую через точку F параллельно стороне ВС, в точке К. Докажите, что точка К лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне АВ.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 850 Пусть луч CK пересекает сторону AB в точке M. Требуется доказать, что AM = MB. Так как EK||AC, то ΔMAC ~ ΔMEK, откуда следует, что MC/MK=AM/EM, т.е. MC/MK=(AE+EM)/EM=AE/EM+1. Так как FK||BC, то ΔMBC ~ ΔMFK, откуда следует, что MC/MK=MB/MF, т.е. MC/MK=(MF+BF)/MF=BF/MF+1. Приравнивая два выражения для отношения MC/MK получаем: AE/EM=BF/MF. Но AE = BF по условию, поэтому EM = MF, и, значит, AE + EM = MF + BF, т.е. AM = MB.