Решение упражнения номер 849 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

849

Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 849 Пусть 〖AA〗_1, 〖BB〗_1, 〖CC〗_1 – высоты остроугольного ΔABC. Требуется доказать, что лучи A_1 A, B_1 B, C_1 C являются биссектрисами углов A_1, B_1 и C_1 треугольника A_1 B_1 C_1. Из прямоугольного треугольника 〖ABB〗_1 получаем: 〖AB〗_1=AB∙cosA, а из прямоугольного треугольника 〖ACC〗_1 находим 〖AC〗_1=AC∙cosA. Следовательно, 〖AB〗_1/AB=〖AC〗_1/AC , т.е. стороны 〖AB〗_1 и 〖AC〗_1 треугольника 〖AB〗_1 C_1 пропорциональны сторонам AB и AC треугольника ABC. Поэтому ΔAB1C1 ~ ΔABC, откуда следует, что ∠1 = ∠C. Аналогично доказывается, что ΔBA1C1 ~ ΔBAC, откуда следует, что∠2 = ∠C. Таким образом, ∠1 = ∠2, а так как ∠AC1C = ∠BC1C = 90°, то ∠B1C1C = ∠A1C1C, т.е. луч C1C – биссектриса угла C1 треугольника A1B1C1. Аналогично доказывается, что лучи A1A и B1B – биссектрисы углов A1 и B1 треугольника A1B1C1.