Решение упражнения номер 848 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

848

В треугольнике ABC (АВ не равен АС) через середину М стороны ВС проведена прямая, Рис. 269 параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 848 Пусть AB < AC и AK – биссектриса ΔABC AC/AB=KC/KB (см. задачу 535 в учебнике) и, следовательно, KC ˃KB. Поэтому точка M лежит между точками K и C, KC = KM + MC = 2KM + KB, AC/AB=(2KM+KB)/KB=2KM/KB+1 KM/KB=AD/AB , то AC/AB=2AD/AB+1 Откуда AB+AD=AC-AD , т.е. BD=AC-AD Из параллельности AK и DM следует, что ∠3 = ∠1, ∠4 = ∠2, а так как ∠1 = ∠2, то ∠3 = ∠4 ⇒ AD = AE. Поэтому BD=AC-AD=AC-AE=CE. Вывод: что требовалось доказать.