Решение упражнения номер 846 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

846

Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С взята точка О так, что справедливо равенство SOAB = SOAC = SOBC. Докажите, что справедливо равенство ОА2 + ОВ2 = 5ОС2.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 846 Дано: ΔABC ∠C = 90° S_OAB=S_OAC=S_OBC Доказать: 〖OA〗^2+〖OB〗^2=5〖OC〗^2 Доказательство: Проведем перпендикуляры OM и ON к прямым AC и BC. Пусть S_ABC=S. По условию задачи S_AOC=1/3 S, или 1/2 OM∙AC=1/3∙1/2∙AC∙BC Отсюда следует, что OM=1/3 BC Аналогично доказывается, что ON=1/3 AC Заметим, что CM=ON=1/3 AC, поэтому AM=AC-CM=2/3 AC Аналогично, BN=2/3 BC Применим теорему Пифагора к треугольникам AOM, BON и COM: 〖OA〗^2=〖OM〗^2+〖MA〗^2=1/9 〖BC〗^2+4/9 〖AC〗^2 〖OB〗^2=〖ON〗^2+〖NB〗^2=1/9 〖AC〗^2+4/9 〖BC〗^2 〖OC〗^2=〖OM〗^2+〖MC〗^2=1/9 〖BC〗^2+1/9 〖AC〗^2 Из этих равенств следует, что 〖OA〗^2+〖OB〗^2=5〖OC〗^2 Вывод: что требовалось доказать.